Teoria degli errori e fondamenti di statistica/10.3

by Maurizio Loreti

10.3 La formula di propagazione degli errori

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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10.3 La formula di propagazione degli errori

Ora, qualsiasi funzione di più variabili si può considerare in prima approssimazione lineare; questo se ci limitiamo a considerarla in un dominio di definizione abbastanza ristretto da poter trascurare i termini di ordine superiore al primo in uno sviluppo in serie di Taylor. In definitiva possiamo estendere le conclusioni del paragrafo precedente ad una qualsiasi funzione di più variabili

$F(x,y,z,\ldots )\;\approx$

$({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}},\ldots )+{\frac {\partial F}{\partial x}}\left(x-{\bar {x}}\right)+{\frac {\partial F}{\partial y}}\left(y-{\bar {y}}\right)+{\frac {\partial F}{\partial z}}\left(z-{\bar {z}}\right)+\cdots$

per la cui varianza avremo

${\sigma _{F}}^{2}\approx \left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}\!{\sigma _{x}}^{2}+\left({\dfrac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}\!{\sigma _{y}}^{2}+\left({\dfrac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}\!{\sigma _{z}}^{2}+\cdots$

(10.2)

(le derivate vanno calcolate per i valori $x={\bar {x}}$, $y={\bar {y}}$, $z={\bar {z}},\ldots$ delle variabili indipendenti).

Questa formula è nota sotto il nome di formula di propagazione degli errori: ripetiamo che si tratta di una formula approssimata; che è valida solo se non si commettono errori troppo grandi nelle misure dirette delle variabili; e che presuppone che le variabili stesse siano tra loro statisticamente indipendenti¹. La formula di propagazione è invece esatta nel caso particolare (esaminato nel paragrafo precedente) di una combinazione lineare di variabili casuali indipendenti, caso questo nel quale tutte le derivate parziali di ordine superiore al primo sono identicamente nulle.

Note

1. Una formula di propagazione degli errori per variabili qualsiasi (che ossia non ne presupponga l’indipendenza statistica) verrà ricavata più avanti, nel paragrafo C.3.