Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.3

by Maurizio Loreti

C.3 Propagazione degli errori per variabili correlate

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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C.3 Propagazione degli errori per variabili correlate

Vediamo ora come si può ricavare una formula di propagazione per gli errori (da usare in luogo dell'equazione (10.2) che abbiamo incontrato a pagina 164) se le grandezze fisiche misurate direttamente non sono tra loro statisticamente indipendenti; nel corso di questo paragrafo continueremo ad usare la notazione già introdotta nel capitolo 10.

Consideriamo una funzione $F$ di $N$ variabili, $F=F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$; ed ammettiamo che sia lecito svilupparla in serie di Taylor nell'intorno del punto $({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots ,{\bar {x}}_{N})$ trascurando i termini di ordine superiore al primo (questo avviene, come sappiamo, o se gli errori di misura sono piccoli o se $F$ è lineare rispetto a tutte le variabili). Tenendo presente il teorema di pagina 52, ed applicando alla formula dello sviluppo

$F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})\;\approx \;F({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots ,{\bar {x}}_{N})\;+\;\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\left(x_{i}-{\bar {x}}_{i}\right)$

l'equazione (C.2), otteniamo

${\text{Var}}(F)\approx \sum _{i}\left({\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\right)^{2}\,{\text{Var}}(x_{i})+2\sum _{\begin{array}{c}i,j\\j>i\end{array}}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial F}{\partial x_{j}}}\,{\text{Cov}}(x_{i},x_{j}).$

(C.5)

Per esprimere in modo compatto la (C.5), si può ricorrere ancora alla matrice delle covarianze ${\boldsymbol {V}}$ delle variabili $x_{i}$; ricordandone la definizione (data dall'equazione (C.3) a pagina 257) ed introducendo poi un vettore ${\boldsymbol {F}}$ di dimensione $N$ di componenti

$F_{i}\;=\;{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}$

ed il suo trasposto ${\boldsymbol {\widetilde {F}}}$, la (C.5) si può riscrivere nella forma

${\text{Var}}(F)=\sum _{i,j}{\widetilde {F}}_{i}V_{ij}F_{j}$

ossia

${\text{Var}}(F)={\boldsymbol {\widetilde {F}}}\,{\boldsymbol {V}}\,{\boldsymbol {F}}$