Teoria degli errori e fondamenti di statistica/C.2

by Maurizio Loreti

C.2 La correlazione lineare

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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C.2 La correlazione lineare

Per due variabili casuali qualunque si definisce poi il coefficiente di correlazione lineare ${\text{Corr}}(x,y)$ (anche indicato col simbolo $r_{xy}$, o semplicemente come $r$) nel modo seguente:

$r_{xy}\;\equiv \;{\text{Corr}}(x,y)\;=\;{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sqrt {{\text{Var}}(x)\,{\text{Var}}(y)}}}\;=\;{\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sigma _{x}\,\sigma _{y}}}$.

Il coefficiente di correlazione di due variabili è ovviamente adimensionale; è nullo quando le variabili stesse sono statisticamente indipendenti (visto che è zero la loro covarianza); ed è comunque compreso tra i due limiti $-1$ e $+1$. Che valga quest’ultima proprietà si può dimostrare calcolando dapprima la varianza di una variabile casuale ausiliaria $z$ definita attraverso la relazione $z=\sigma _{y}\,x-\sigma _{x}\,y$, ed osservando che essa deve essere una quantità non negativa:

${\text{Var}}(z)$	$={\sigma _{y}}^{2}\,{\text{Var}}(x)+{\sigma _{x}}^{2}\,{\text{Var}}(y)-2\,\sigma _{x}\,\sigma _{y}\,{\text{Cov}}(x,y)$
	$=2\,{\text{Var}}(x)\,{\text{Var}}(y)-2\,\sigma _{x}\,\sigma _{y}\,{\text{Cov}}(x,y)$
	$\geq 0$;

da cui

${\text{Corr}}(x,y)\leq 1$.

Poi, compiendo analoghi passaggi su un’altra variabile definita stavolta come $z=\sigma _{y}\,x+\sigma _{x}\,y$, si troverebbe che deve essere anche ${\text{Corr}}(x,y)\geq -1$.

Se il coefficiente di correlazione lineare raggiunge uno dei due valori estremi $\pm 1$, risulta ${\text{Var}}(z)=0$; e dunque deve essere

$z\;=\;\sigma _{y}\,x\mp \sigma _{x}\,y\;=\;{\text{costante}}$

cioè $x$ ed $y$ devono essere legati da una relazione funzionale di tipo lineare.

Vale anche l’inverso: partendo infatti dall’ipotesi che le due variabili siano legate da una relazione lineare data da $y=a+bx$, con $b$ finito e non nullo, ne consegue che:

$E(y)$	$=a+b\,E(x)$
${\text{Var}}(y)$	$=b^{2}\,{\text{Var}}(x)$
$E(xy)$	$=E(a\,x+b\,x^{2})$
	$=a\,E(x)+b\,E(x^{2})$
${\text{Cov}}(x,y)$	$=E(xy)-E(x)\cdot E(y)$
	$=a\,E(x)+b\,E(x^{2})-E(x){\bigl [}a+b\,E(x){\bigr ]}$
	$=b\left\{E(x^{2})-{\bigl [}E(x){\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=b\cdot {\text{Var}}(x)$
${\text{Corr}}(x,y)$	$={\frac {{\text{Cov}}(x,y)}{\sqrt {{\text{Var}}(x)\,{\text{Var}}(y)}}}$
	$={\frac {b\,{\text{Var}}(x)}{\sqrt {b^{2}{\bigl [}{\text{Var}}(x){\bigr ]}^{2}}}}$
	$={\frac {b}{|b|}}$
	$=\pm 1$.

Il segno del coefficiente di correlazione è quello del coefficiente angolare della retta. Sono da notare due cose: innanzi tutto il rapporto $b/|b|$ perde significato quando $b=0$ o quando $b=\infty$, cioè quando la retta è parallela ad uno degli assi coordinati: in questi casi ($x=$ costante o $y=$ costante) una delle due grandezze non è in realtà una variabile casuale, e l’altra è dunque indipendente da essa; è facile vedere che tanto il coefficiente di correlazione tra $x$ e $y$ quanto la covarianza valgono zero, essendo $E(xy)\equiv E(x)\cdot E(y)$ in questo caso.

Anche quando esiste una relazione funzionale esatta tra $x$ e $y$, se questa non è rappresentata da una funzione lineare il coefficiente di correlazione non raggiunge i valori estremi $\pm 1$; per questa ragione appunto esso si chiama più propriamente “coefficiente di correlazione lineare”.