Teoria degli errori e fondamenti di statistica/5.4

by Maurizio Loreti

5.4 La varianza delle combinazioni lineari

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

5.4 La varianza delle combinazioni lineari

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5.4 La varianza delle combinazioni lineari

Dimostriamo ora un altro teorema generale che riguarda la varianza di una combinazione lineare di più variabili casuali, che supporremo però statisticamente indipendenti. Usando gli stessi simboli già introdotti nel paragrafo 5.3, e dette $x$ ed $y$ due variabili casuali che godano di tale proprietà, sappiamo dall’equazione (3.4) che la probabilità $P_{jk}$ che contemporaneamente risulti sia $x=x_{j}$ che $y=y_{k}$ è data dal prodotto delle probabilità rispettive $p_{j}$ e $q_{k}$.

Per semplificare i calcoli, dimostriamo questo teorema dapprima nel caso particolare di due popolazioni $x$ e $y$ che abbiano speranza matematica nulla; estenderemo poi il risultato a due variabili (sempre statisticamente indipendenti) aventi speranza matematica qualunque. Ciò premesso, la combinazione lineare

$z=ax+by$

ha anch’essa speranza matematica zero: infatti applicando l’equazione (5.2) risulta

$E(z)=E(ax+by)=aE(x)+bE(y)=0$

e si può allora ricavare (indicando con i simboli ${\sigma _{x}}^{2}$, ${\sigma _{y}}^{2}$ e ${\sigma _{z}}^{2}$ le varianze di $x$, $y$ e $z$ rispettivamente):

${\sigma _{z}}^{2}$	$=$	$E\left\{{\bigl [}z-E(z){\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=$	$E\left\{z^{2}\right\}$
	$=$	$E\left\{\left(ax+by\right)^{2}\right\}$
	$=$	$\sum \nolimits _{jk}P_{jk}\left(ax_{j}+by_{k}\right)^{2}$
	$=$	$\sum \nolimits _{jk}p_{j}q_{k}{\bigl (}a^{2}{x_{j}}^{2}+b^{2}{y_{k}}^{2}+2abx_{j}\,y_{k}{\bigr )}$
	$=$	$a^{2}\sum \nolimits _{k}q_{k}\sum \nolimits _{j}p_{j}{x_{j}}^{2}+b^{2}\sum \nolimits _{j}p_{j}\sum \nolimits _{k}q_{k}{y_{k}}^{2}+2ab\sum \nolimits _{j}p_{j}x_{j}\sum \nolimits _{k}q_{k}y_{k}$
	$=$	$a^{2}{\sigma _{x}}^{2}\,\sum \nolimits _{k}q_{k}+b^{2}{\sigma _{y}}^{2}\sum \nolimits _{j}p_{j}+2abE(x)E(y)$

ed infine

${\sigma _{z}}^{2}=a^{2}{\sigma _{x}}^{2}+b^{2}{\sigma _{y}}^{2}.$

(5.4)

Allo scopo di estendere la validità dell’equazione (5.4) appena dimostrata a due variabili casuali $x$ e $y$ aventi speranza matematica anche differente da zero, dimostriamo ora il seguente

Teorema: due variabili casuali che differiscano per un fattore costante hanno la stessa varianza.

Infatti, se le due variabili casuali $x$ e $\xi$ soddisfano questa ipotesi, allora deve risultare:

$~\xi$	$=$	$x+K$
$E(\xi )$	$=$	$E(x)+K$
${\sigma _{\xi }}^{2}$	$=$	$E\left\{{\bigl [}\xi -E(\xi ){\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=$	$E\left\{{\bigl [}x+K-E(x)-K{\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=$	$E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2}\right\}$
	$=$	${\sigma _{x}}^{2}$.

Ora, date due variabili casuali $x$ e $y$ qualsiasi, ed una loro generica combinazione lineare $z=ax+by$, basta definire altre due variabili casuali ausiliarie

$\xi =x-E(x)$

ed

$\eta =y-E(y)$

(che ovviamente soddisfano l’ipotesi di avere speranza matematica zero): pertanto la loro combinazione lineare $\zeta =a\xi +b\eta$, che differisce anch’essa da $z$ per un fattore costante e pari ad $aE(x)+bE(y)$, avrà varianza che, in conseguenza della (5.4), sarà data dalla

${\sigma _{\zeta }}^{2}=a^{2}{\sigma _{\xi }}^{2}+b^{2}{\sigma _{\eta }}^{2}$.

Ma per quanto detto, $x$ e $\xi$ hanno la stessa varianza; così $y$ ed $\eta$, e $z$ e $\zeta$. Ne consegue come per qualsiasi coppia di variabili casuali (purché però statisticamente indipendenti) vale la relazione (5.4), che possiamo enunciare nel modo seguente:

Una combinazione lineare, a coefficienti costanti, di due variabili casuali statisticamente indipendenti ha varianza uguale alla combinazione lineare delle rispettive varianze, con coefficienti pari ai quadrati dei coefficienti rispettivi¹.

È ovvio poi estendere (per induzione completa) questo risultato alla combinazione lineare di un numero finito qualsivoglia di variabili casuali, che siano però sempre tra loro tutte statisticamente indipendenti: se

$F=ax+by+cz+\cdots$

allora

${\sigma _{F}}^{2}=a^{2}{\sigma _{x}}^{2}+b^{2}{\sigma _{y}}^{2}+c^{2}{\sigma _{z}}^{2}+\cdots ~$.

(5.5)

Note

1. O, come si usa dire in sintesi, gli errori si combinano quadraticamente. Una formula più generale, che si può applicare a coppie di variabili casuali qualunque, verrà dimostrata nell’appendice C.