Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.2.1

by Maurizio Loreti

11.2.1 Un esempio di stima sufficiente

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

11.2.1 Un esempio di stima sufficiente

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11.2.1 Un esempio di stima sufficiente

Supponiamo di avere un campione di $N$ determinazioni indipendenti $x_{k}$ di una variabile che segua la distribuzione di Poisson; le probabilità dei differenti valori sono date dalla (8.14), e dipendono da un unico parametro: il valore medio della distribuzione, $\alpha$. La funzione di verosimiglianza è la

$\Pr(x_{1},\ldots ,x_{N};\alpha )$	$={\frac {\alpha ^{x_{1}}}{x_{1}!}}\,e^{-\alpha }\cdot {\frac {\alpha ^{x_{2}}}{x_{2}!}}\,e^{-\alpha }\cdots {\frac {\alpha ^{x_{N}}}{x_{N}!}}\,e^{-\alpha }$
	$={\frac {\alpha ^{\sum _{k}x_{k}}\cdot e^{-N\alpha }}{x_{1}!\,x_{2}!\cdots x_{N}!}}\cdot {\frac {(N{\bar {x}})!}{(N{\bar {x}})!}}$
	$={\frac {\alpha ^{N{\bar {x}}}}{(N{\bar {x}})!}}\,e^{-N\alpha }\cdot {\frac {(N{\bar {x}})!}{x_{1}!\,x_{2}!\cdots x_{N}!}}\cdot {\frac {N^{N{\bar {x}}}}{N^{N{\bar {x}}}}}$
	$=\left\{{\frac {(N\alpha )^{N{\bar {x}}}}{(N{\bar {x}})!}}\,e^{-N\alpha }\right\}{\Biggl \{}{\frac {(N{\bar {x}})!}{x_{1}!\,x_{2}!\cdots x_{N}!}}\,{\frac {1}{N^{N{\bar {x}}}}}{\Biggr \}}$	(11.6)

Nei passaggi, per due volte si è moltiplicato e diviso per una stessa quantità non nulla: prima per $(N{\bar {x}})!$ e poi per $N^{N{\bar {x}}}$.

La stima di massima verosimiglianza si trova annullando la derivata della (11.6); che, a meno di un fattore costante, è della forma

$f(\alpha )=\alpha ^{N{\bar {x}}}e^{-N\alpha }$

per cui

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} \alpha }}\;=\;N\,{\bar {x}}\,\alpha ^{N{\bar {x}}-1}e^{-N\alpha }-N\,\alpha ^{N{\bar {x}}}e^{-N\alpha }\;=\;N\,\alpha ^{N{\bar {x}}-1}e^{-N\alpha }({\bar {x}}-\alpha )$

e quindi la stima cercata è

${\hat {\alpha }}={\bar {x}}$

Il primo termine dell’espressione finale (11.6) per la funzione di verosimiglianza è la probabilità $\Pr(S)$ che la variabile casuale

$S=\sum _{k=1}^{N}x_{k}\;=\;N{\bar {x}}$

abbia un determinato valore: $\Pr(S)$ infatti, come già sappiamo dal paragrafo (8.5), segue la distribuzione di Poisson con valore medio $N\alpha$. Notiamo anche che, avendo $N$ un valore costante noto a priori, $\Pr(S)$ coincide con $\Pr({\bar {x}})$: il secondo termine deve quindi essere la probabilità che i dati osservati valgano $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}$ condizionata dal fatto che la loro somma vale $N{\bar {x}}$; ma, non dipendendo questo termine da $\alpha$, tale probabilità è la stessa qualunque sia il parametro.

Qualunque sia ${\bar {x}}$, una volta noto il suo valore le $x_{k}$ sono distribuite allo stesso modo: ${\bar {x}}$ riassume insomma tutta l’informazione contenuta nei dati, ed è quindi per definizione una stima sufficiente del parametro. In effetti, se la probabilità dei valori $x_{k}$ una volta nota ${\bar {x}}$ non dipende dal parametro, questo implica che qualunque funzione dei dati ha probabilità (condizionata) che gode della stessa proprietà. Citiamo senza dimostrarlo, in proposito, il seguente

Teorema: ${\bar {\theta }}$ è una stima sufficiente di $\theta$ se e solo se la funzione di verosimiglianza è fattorizzabile nella forma

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N};\theta )=f({\bar {\theta }},\theta )\cdot \phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N})$