Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.5 La distribuzione di Poisson

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8.5.1

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[p. 116 modifica]

8.5 La distribuzione di Poisson

Sia E un evento casuale che avvenga rispettando le seguenti ipotesi:

La probabilità del verificarsi dell’evento E in un intervallo di tempo¹ molto piccolo (al limite infinitesimo) dt è proporzionale alla durata di tale intervallo;

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Il verificarsi o meno dell’evento in un certo intervallo temporale è indipendente dal verificarsi o meno dell’evento prima o dopo di esso;
La probabilità che più di un evento si verifichi in un tempo infinitesimo dt è infinitesima di ordine superiore rispetto a dt.

vogliamo ora ricavare la probabilità $P(x;t)$ che in un intervallo di tempo finito, di durata t, si verifichi esattamente un numero prefissato x di eventi E. Usando questa simbologia, la prima ipotesi fatta sul processo casuale in esame si scrive

P(1;\mathrm {d} t)=\lambda \,\mathrm {d} t

\Longrightarrow

P(0;\mathrm {d} t)=1-\lambda \,\mathrm {d} t

e, viste le altre ipotesi ed applicando in conseguenza i teoremi delle probabilità totali e composte, la probabilità di avere x eventi in un intervallo di tempo lungo $t+\mathrm {d} t$ è data, a meno di infinitesimi di ordine superiore, da

$P(x;t+\mathrm {d} t)$	$=P(x-1;t)\cdot P(1;\mathrm {d} t)+P(x;t)\cdot P(0;\mathrm {d} t)$
	$=P(x-1;t)\,\lambda \,\mathrm {d} t+P(x;t)\,(1-\lambda \,\mathrm {d} t)$

cioè

${\frac {P(x;t+\mathrm {d} t)-P(x;t)}{\mathrm {d} t}}\;\equiv \;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,P(x;t)=-\lambda \,P(x;t)+\lambda \,P(x-1;t)$ .

Ora, quando $x=0$ , essendo chiaramente nulla la probabilità di avere un numero negativo di eventi E in un tempo qualsiasi, risulta in particolare

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,P(0;t)=-\lambda \,P(0;t)$

da cui

$P(0;t)=e^{-\lambda t}$

(la costante di integrazione si determina imponendo che $P(0;0)=1$ ). Da questa relazione si può ricavare $P(1;t)$ e, con una serie di integrazioni successive, $P(x;t)$ : risulta

P(x;t)={\frac {(\lambda t)^{x}}{x!}}\,e^{-\lambda t}

.

(8.13)

[p. 118 modifica]

In questa espressione x è l’unica variabile casuale, e t funge da parametro: se introduciamo la nuova grandezza $\alpha =\lambda t$ , possiamo scrivere

P(x;\alpha )={\frac {\alpha ^{x}}{x!}}\,e^{-\alpha }

.

(8.14)

Questa distribuzione di probabilità per una variabile casuale (discreta) x prende il nome di distribuzione di Poisson²; da essa si può ottenere, ad esempio, la probabilità di ottenere x decadimenti in una massa nota di sostanza radioattiva nel tempo t: infatti per questo tipo di processi fisici risultano soddisfatte le tre ipotesi di partenza.

Più esattamente, la probabilità di avere precisamente x decadimenti radioattivi nel tempo t è data dalla distribuzione binomiale; la distribuzione di Poisson è una approssimazione alla distribuzione binomiale che si può ritenere valida qualora si considerino eventi casuali di probabilità estremamente piccola, e che ci è possibile vedere solo perché si compiono osservazioni su un numero molto elevato di essi: in formula, quando

p^{2}\ll p

e

p\ll Np\ll N

(8.15)

(eventi rari su larga base statistica).

Anche se la distribuzione di Poisson è, come nel caso dei decadimenti radioattivi, una approssimazione di quella binomiale, si preferisce però sempre usarla nella pratica al posto di quest’ultima quando le (8.15) siano approssimativamente verificate: infatti se N è grande i fattoriali e le potenze presenti nella (8.7) rendono generalmente l’espressione difficile da calcolare. Verifichiamo ora la condizione di normalizzazione:

$\sum _{x=0}^{+\infty }P(x)\;=\;e^{-\alpha }\sum _{x=0}^{+\infty }{\frac {\alpha ^{x}}{x!}}\;=\;e^{-\alpha }e^{\alpha }\;\equiv \;1$

(riconoscendo nella sommatoria l’espressione di uno sviluppo in serie di McLaurin della funzione esponenziale). Calcoliamo poi la speranza mate[p. 119 modifica]matica di x:

$E(x)$	$=\sum _{x=0}^{+\infty }x\,{\frac {\alpha ^{x}}{x!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\sum _{x=1}^{+\infty }x\,{\frac {\alpha ^{x}}{x!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\alpha \,e^{-\alpha }\sum _{x=1}^{+\infty }{\frac {\alpha ^{x-1}}{(x-1)!}}$
	$=\alpha \,e^{-\alpha }\sum _{y=0}^{+\infty }{\frac {\alpha ^{y}}{y!}}$
	$=\alpha \,e^{-\alpha }e^{\alpha }$
	$=\alpha$ .

Nei passaggi si è prima osservato che il primo termine della sommatoria ( $x=0$ ) è nullo, e si è poi introdotta la nuova variabile $y=x-1$ . Troviamo ora la speranza matematica di $x^{2}$ : con passaggi analoghi, si ottiene

$E(x^{2})$	$=\sum _{x=0}^{+\infty }x^{2}{\frac {\alpha ^{x}}{x!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\alpha \sum _{x=1}^{+\infty }x\,{\frac {\alpha ^{x-1}}{(x-1)!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\alpha \sum _{x=1}^{+\infty }{\bigl [}(x-1)+1{\bigr ]}\,{\frac {\alpha ^{x-1}}{(x-1)!}}\,e^{-\alpha }$
	$=\alpha \left[\,\sum _{y=0}^{+\infty }y\,{\frac {\alpha ^{y}}{y!}}\,e^{-\alpha }\;+\;\sum _{y=0}^{+\infty }{\frac {\alpha ^{y}}{y!}}\,e^{-\alpha }\right]$
	$=\alpha \left[\,\sum _{y=0}^{+\infty }y\,P(y)\;+\;\sum _{y=0}^{+\infty }P(y)\right]$
	$=\alpha \,(\alpha +1)$

e la varianza di x risulta allora anch’essa data da

${\text{Var}}(x)=E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}-{\bigl [}E(x){\bigr ]}^{2}\;=\;\alpha \,(\alpha +1)-\alpha ^{2}\;=\;\alpha$ .

[p. 120 modifica]

Figura 8f - La distribuzione di Poisson, per tre diversi valori del parametro

\alpha

.

[p. 121 modifica]

La funzione generatrice dei momenti, come si potrebbe facilmente ottenere dalla definizione, è la

M_{x}(t)=e^{-\alpha }e^{\alpha e^{t}}=e^{\alpha \left(e^{t}-1\right)}

;

(8.16)

la funzione caratteristica di variabile reale

$\phi _{x}(t)=e^{\alpha \left(e^{it}-1\right)}$ ,

e la funzione caratteristica di variabile complessa

\phi _{x}(z)=e^{\alpha (z-1)}

.

(8.17)

Da esse potrebbero essere ricavati tutti i momenti successivi; i primi quattro valgono

{\begin{cases}\lambda _{1}\;\equiv \;E(x)\;=\;\alpha \\[1ex]\lambda _{2}\;\equiv \;E{\bigl (}x^{2}{\bigr )}\;=\;\alpha \,(\alpha +1)\\[1ex]\lambda _{3}\;=\;\alpha \,{\bigl [}(\alpha +1)^{2}+\alpha {\bigr ]}\\[1ex]\lambda _{4}\;=\;\alpha \,{\bigl [}\alpha ^{3}+6\alpha ^{2}+7\alpha +1{\bigr ]}\end{cases}}

{\begin{cases}\mu _{1}\;\equiv \;0\\[1ex]\mu _{2}\;\equiv \;{\text{Var}}(x)\;=\;\alpha \\[1ex]\mu _{3}\;=\;\alpha \\[1ex]\mu _{4}\;=\;\alpha \,(3\alpha +1)\end{cases}}

Un’altra conseguenza della (8.16) è che la somma $w=x+y$ di due variabili casuali indipendenti che seguano la distribuzione di Poisson (con valori medi $\xi$ ed $\eta$ ) segue anch’essa tale distribuzione (con valore medio pari a $\xi +\eta$ ):

M_{w}(t)=e^{\xi \left(e^{t}-1\right)}\,e^{\eta \left(e^{t}-1\right)}=e^{(\xi +\eta )\left(e^{t}-1\right)}

.

(8.18)

Anche la distribuzione di Poisson, come si vede dai grafici di figura 8f, è bene approssimata da una distribuzione normale quando $\alpha$ è abbastanza elevato; questo non deve stupire, visto lo stretto legame che esiste tra la distribuzione di Poisson e quella di Bernoulli — il cui limite per grandi N è appunto la funzione di Gauss. Volendo, si potrebbe ripetere per la funzione generatrice (8.16) una analisi analoga a quella a suo tempo compiuta per la distribuzione binomiale; in questo modo si proverebbe rigorosamente il fatto che anche la distribuzione di Poisson, per grandi $\alpha$ , tende a quella normale.

In genere si ritiene che, per valori medi $\alpha \gtrsim 8$ , si possa ritenere soddisfacente l’approssimazione normale alla distribuzione di Poisson.

Note

↑ Sebbene ci si riferisca, per esemplificare le nostre considerazioni, ad un processo temporale (e si faccia poi l’esempio del numero di decadimenti in un intervallo costante di tempo per una sostanza radioattiva come quello di una variabile casuale che segue la distribuzione di Poisson), gli stessi ragionamenti naturalmente si applicano anche a fenomeni fisici riferiti ad intervalli di differente natura, per esempio di spazio.
Così anche il numero di urti per unità di lunghezza delle molecole dei gas segue la distribuzione di Poisson (se si ammette che la probabilità di un urto nel percorrere un intervallo infinitesimo di spazio sia proporzionale alla sua lunghezza, ed analogamente per le altre ipotesi).
↑ Siméon Denis Poisson visse in Francia dal 1781 al 1840; matematico e fisico di valore, si occupò della teoria degli integrali e delle serie, di meccanica, elettricità, magnetismo ed astronomia. Gli studi sulla distribuzione che porta il suo nome compaiono nel trattato del 1837 “Recherches sur la probabilitè des jugements...”.

[10p116-1] Sebbene ci si riferisca, per esemplificare le nostre considerazioni, ad un processo temporale (e si faccia poi l’esempio del numero di decadimenti in un intervallo costante di tempo per una sostanza radioattiva come quello di una variabile casuale che segue la distribuzione di Poisson), gli stessi ragionamenti naturalmente si applicano anche a fenomeni fisici riferiti ad intervalli di differente natura, per esempio di spazio.
Così anche il numero di urti per unità di lunghezza delle molecole dei gas segue la distribuzione di Poisson (se si ammette che la probabilità di un urto nel percorrere un intervallo infinitesimo di spazio sia proporzionale alla sua lunghezza, ed analogamente per le altre ipotesi).

[2] Siméon Denis Poisson visse in Francia dal 1781 al 1840; matematico e fisico di valore, si occupò della teoria degli integrali e delle serie, di meccanica, elettricità, magnetismo ed astronomia. Gli studi sulla distribuzione che porta il suo nome compaiono nel trattato del 1837 “Recherches sur la probabilitè des jugements...”.

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