Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.1

by Maurizio Loreti

8.5.1 Applicazione: esperimenti negativi

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.5.1 Applicazione: esperimenti negativi

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8.5.1 Applicazione: esperimenti “negativi”

Si osserva un numero $N_{0}$ di protoni per un tempo t, e non si registra alcun decadimento. Quale è il limite inferiore che si può dare sulla vita media del protone, $\tau$, con una probabilità (livello di confidenza) del 95%?

L’evento casuale consistente nel non avere osservato alcun decadimento è somma logica di altri due eventi mutuamente esclusivi: o il protone è stabile (e non può quindi decadere); o il protone è instabile, e si sono inoltre verificati 0 decadimenti nel tempo di osservazione (supponiamo per semplicità che ognuno di essi abbia poi probabilità 1 di essere osservato).

In questa seconda eventualità, dalla (8.10) si può ricavare il numero medio di decadimenti attesi nel tempo t, che è

$\alpha \;=\;N_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\;\approx \;N_{0}\,{\frac {t}{\tau }}$

(supponendo che $\tau$ sia molto maggiore del periodo di osservazione t); e da esso la probabilità di osservare 0 eventi sempre nel tempo t, che è data dalla statistica di Poisson e vale

$P(0)\;=\;{\frac {\alpha ^{0}}{0!}}\,e^{-\alpha }\;=\;e^{-\alpha }$.

Quello che si domanda è di calcolare, assumendo come certa l’ipotesi che il protone sia instabile, il valore minimo che deve avere la sua vita media perché la probabilità di non osservare nulla sia almeno del 95%: e questo avviene quando

$P(0)$	$=e^{-\alpha }\;\approx \;e^{-N_{0}\,{\frac {t}{\tau }}}\;\geq \;0.95$
	$-N_{0}\,{\frac {t}{\tau }}\;\geq \;\ln 0.95$
	$\tau \;\geq \;-\,{\frac {N_{0}\,t}{\ln 0.95}}$

(abbiamo invertito il segno della disuguaglianza nell’ultimo passaggio perché $\ln {0.95}\approx -0.0513$ è un numero negativo).