Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.5.2

by Maurizio Loreti

8.5.2 Applicazione: ancora il rapporto di asimmetria

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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8.5.2 Applicazione: ancora il rapporto di asimmetria

Nel paragrafo 8.4.2 abbiamo supposto che il numero N di osservazioni effettuate sia noto a priori e costante: però questo non è in generale corretto; e, nella realtà, il numero di volte in cui un certo fenomeno fisico si presenterà è di norma esso stesso una variabile casuale. Continuiamo la nostra analisi supponendo che si tratti di un fenomeno nel quale N segua la distribuzione di Poisson con valore medio $\nu$.

Continuando ad usare gli stessi simboli del paragrafo 8.4.2, la probabilità congiunta di osservare N eventi dei quali F in avanti è in realtà

$\Pr(F,N)={\frac {\nu ^{N}}{N!}}\,e^{-\nu }\cdot {\frac {N!}{F!\,(N-F)!}}\,p^{F}q^{N-F}$

$={\frac {p^{F}q^{N-F}}{F!\,(N-F)!}}\,\nu ^{N}e^{-\nu }$;

o anche, cambiando coppia di variabili casuali passando da $\{F,N\}$ a $\{F,B\}$:

$\Pr(F,B)$	$={\frac {p^{F}q^{B}}{F!\,B!}}\,\nu ^{F+B}e^{-\nu }$
	$={\frac {(\nu p)^{F}(\nu q)^{B}}{F!\,B!}}\,e^{-\nu }$
	$={\frac {(\nu p)^{F}}{F!}}\,e^{-\nu p}\cdot {\frac {(\nu q)^{B}}{B!}}\,e^{-\nu q}$.

che è il prodotto di due funzioni di frequenza di Poisson.

In definitiva abbiamo scoperto che la composizione di un processo di Poisson e di un processo di Bernoulli equivale al prodotto di due Poissoniane: il numero N di eventi osservato segue la statistica di Poisson; la scelta dello stato finale F o B quella binomiale; ma tutto avviene come se i decadimenti dei due tipi, in avanti ed all’indietro, si verificassero separatamente ed indipendentemente secondo la statistica di Poisson.

Accettato questo fatto appena dimostrato (ancorché inaspettato), e pensando sia ad F che a B come variabili casuali statisticamente indipendenti tra loro e che seguono singolarmente la statistica di Poisson, per il rapporto di asimmetria asintoticamente (ovvero per grandi N) si ricava:

${\text{Var}}(F)=E(F)\simeq F$

${\text{Var}}(B)=E(B)\simeq B$

e, per il rapporto di asimmetria R:

$R$	$={\frac {F-B}{F+B}}$
	$\simeq {\frac {E(F)-E(B)}{E(F)+E(B)}}+{\frac {\partial R}{\partial F}}\,{\bigl [}F-E(F){\bigr ]}+{\frac {\partial R}{\partial B}}\,{\bigl [}B-E(B){\bigr ]}$;

visto che la speranza matematica degli ultimi due termini è nulla,

$E(R)$	$\simeq {\frac {E(F)-E(B)}{E(F)+E(B)}}$
	$={\frac {2F}{N}}-1$;
${\text{Var}}(R)$	$\simeq \left({\frac {\partial R}{\partial F}}\right)^{2}{\text{Var}}(F)+\left({\frac {\partial R}{\partial B}}\right)^{2}{\text{Var}}(B)$
	$={\frac {4}{(F+B)^{4}}}\left[B^{2}{\text{Var}}(F)+F^{2}{\text{Var}}(B)\right]$
	$={\frac {4FB}{(F+B)^{3}}}$
	$=4\,{\frac {FB}{N^{3}}}$,

e le cose, di fatto, non cambiano (almeno nel limite dei grandi N) rispetto alla precedente analisi del paragrafo 8.4.2.