Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.4.3

by Maurizio Loreti

8.4.3 La distribuzione binomiale negativa

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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8.4.3 La distribuzione binomiale negativa

Consideriamo ancora un evento casuale E ripetibile, avente probabilità costante p di presentarsi (e quindi probabilità $q=1-p$ di non presentarsi) in una singola prova; in più prove successive l’evento seguirà dunque la statistica di Bernoulli. Vogliamo ora calcolare la probabilità $f(x;N,p)$ che, prima che si verifichi l’N-esimo successo, si siano avuti esattamente x insuccessi; o, se si preferisce, la probabilità che l’N-simo successo si presenti nella $(N+x)$-sima prova.

L’evento casuale considerato si realizza se e solo se nelle prime $N+x-1$ prove si è presentata una delle possibili sequenze di $N-1$ successi e x fallimenti; e se poi, nella prova successiva, si ha un ulteriore successo. La prima condizione, applicando la (8.7), ha probabilità

${\binom {N+x-1}{N-1}}\,p^{N-1}\,q^{x}$;

e, vista l’indipendenza statistica delle prove tra loro, risulta dunque

$f(x;N,p)\;=\;{\binom {N+x-1}{N-1}}\,p^{N}\,q^{x}\;=\;{\binom {N+x-1}{x}}\,p^{N}\,q^{x}.$

(8.12)

(nell’ultimo passaggio si è sfruttata la proprietà dei coefficienti binomiali $\textstyle {\binom {N}{K}}\equiv {\binom {N}{N-K}}$; vedi in proposito il paragrafo A.6).

Questa distribuzione di probabilità prende il nome di distribuzione binomiale negativa¹; il motivo di tale nome è che l’equazione (8.12) può essere riscritta in forma compatta sfruttando una “estensione” dei coefficienti binomiali che permette di definirli anche per valori negativi di N. La funzione generatrice dei momenti è

$M_{x}(t)=E(e^{tx})=\left({\frac {p}{1-qe^{t}}}\right)^{N}$;

da questa si possono poi ricavare la speranza matematica

$E(x)={\frac {Nq}{p}}$,

e la varianza

${\text{Var}}(x)=N{\frac {q}{p^{2}}}$.

La distribuzione binomiale negativa con $N=1$ prende il nome di distribuzione geometrica; la probabilità (8.12) diventa

$f(x;p)=pq^{x}$,

ed è quella dell’evento casuale consistente nell’ottenere il primo successo dopo esattamente x insuccessi; ponendo $N=1$ nelle formule precedenti, speranza matematica e varianza della distribuzione geometrica sono rispettivamente

$E(x)={\frac {q}{p}}$

e

${\text{Var}}(x)={\frac {q}{p^{2}}}$.

Note

1. La distribuzione binomiale negativa è talvolta chiamata anche distribuzione di Pascal o di Pólya.