Teoria degli errori e fondamenti di statistica/11.5.3

by Maurizio Loreti

11.5.3 Range di una popolazione uniforme

../11.5.2 ../11.5.4 IncludiIntestazione 1 settembre 2022 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

11.5.3 Range di una popolazione uniforme

◄

11.5.2

11.5.4

►

11.5.3 Range di una popolazione uniforme

Sia una variabile casuale $x$ distribuita uniformemente tra un estremo inferiore noto, che senza perdere in generalità possiamo supporre sia lo zero, ed un estremo superiore ignoto $A$; in questo caso dobbiamo innanzi tutto osservare sia che il dominio di definizione della funzione di frequenza $f(x)$ della $x$ dipende dal parametro che dobbiamo stimare, sia che $f(x)$ e la sua derivata prima hanno dei punti di discontinuità: e non possiamo in conseguenza garantire a priori né la consistenza, né la massima efficienza asintotica del metodo usato.

Comunque, introducendo la cosiddetta funzione gradino (o step function) $S(x)$, definita attraverso la

${\begin{cases}S(x)=0&\qquad (x<0)\\[1ex]S(x)=1&\qquad (x\geq 0)\end{cases}}$

la funzione di frequenza $f(x)$ si può anche scrivere

$f(x)\;=\;{\frac {1}{A}}\;S(x)\;S(A-x)$

e la funzione di verosimiglianza

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N};A)={\frac {1}{A^{N}}}S(x_{\min })\;S(A-x_{\max })$.

Come sappiamo, ammesso noto il valore del parametro $A$ essa rappresenta la densità di probabilità di ottenere gli $N$ valori $x_{i}\in [-\infty ,+\infty ]$; se invece si considera $A$ come l’unica variabile e si ammettono noti gli $N$ valori $x_{i}$, rappresenta la densità di probabilità che un dato $A$ abbia prodotto i dati osservati. Ma in quest’ultimo caso $S(x_{\min })\equiv 1$, e la funzione di verosimiglianza si riduce alla

${\mathcal {L}}(A)={\frac {1}{A^{N}}}\;S(A-x_{\max })$

(11.15)

che è nulla per $A<x_{\max }$ e monotona strettamente decrescente per $A\geq x_{\max }$; ed ammette quindi un unico massimo all’estremo del dominio, che vale

${\hat {A}}=x_{\max }$.

(11.16)

Valore medio e varianza della stima valgono, come già sappiamo dal paragrafo 8.1.3,

$E({\hat {A}})\;=\;A^{*}-{\frac {A^{*}}{N+1}}\;=\;{\frac {N}{N+1}}\,A^{*}$

e

${\text{Var}}({\hat {A}})\;=\;{\frac {N}{(N+1)^{2}\,(N+2)}}\,\left(A^{*}\right)^{2}$

e quindi la stima è consistente, ma non imparziale; una stima imparziale è invece

${\bar {A}}\;=\;{\frac {N+1}{N}}\,x_{\max }\;=\;x_{\max }\,\left(1+{\frac {1}{N}}\right)$,

di varianza ovviamente superiore per un fattore $(1+1/N)^{2}$. È anche ovvio, dalla forma sia della (11.15) che della (11.16), che ${\hat {A}}$ è una stima sufficiente di $A^{*}$.