Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.1.3

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

8.1.3 Esempio: valori estremi di un campione di dati a distribuzione uniforme

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8.1.3 Esempio: valori estremi di un campione di dati a distribuzione uniforme

Come ulteriore esempio, applichiamo le conclusioni dei paragrafi 6.6 e 7.1.6 ad un campione di valori proveniente da una distribuzione uniforme. Usando le espressioni per $f(x)$ e $F(x)$ che conosciamo, ed essendo¹

$1-F(x)={\frac {b-x}{b-a}}$ ,

la (6.18) diventa

$f_{1}(x)=N{\binom {N-1}{i-1}}\,{\frac {(x-a)^{i-1}(b-x)^{N-i}}{(b-a)^{N}}}$

e, in particolare, per i due valori minimo e massimo presenti nel campione le densità di probabilità si scrivono

$f_{1}(x)=N{\frac {(b-x)^{N-1}}{(b-a)^{N}}}$ .

e

$f_{N}(x)=N{\frac {(x-a)^{N-1}}{(b-a)^{N}}}$ .

Come conseguenza, la speranza matematica di $x_{N}$ vale

$E(x_{N})$	$=\int _{a}^{b}x\cdot f_{N}(x)\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {N}{(b-a)^{N}}}\,\int _{a}^{b}\left[a+(x-a)\right](x-a)^{N-1}\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {N}{(b-a)^{N}}}\left[a\,{\frac {(x-a)^{N}}{N}}+{\frac {(x-a)^{N+1}}{N+1}}\right]_{a}^{b}$
	$=a+{\frac {N}{N+1}}(b-a)$
	$=b-{\frac {1}{N+1}}(b-a)$ .

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Allo stesso modo si troverebbe

$E(x_{1})=a+{\frac {1}{N+1}}(b-a)$ ;

e, per il generico $x_{i}$ ,

$E(x_{i})=a+{\frac {i}{N+1}}\,(b-a)$ .

Dopo gli opportuni calcoli, si potrebbero ricavare anche le varianze rispettive: che valgono

${\text{Var}}(x_{1})={\text{Var}}(x_{N})={\frac {N}{(N+1)^{2}(N+2)}}(b-a)^{2}$

e

${\text{Var}}(x_{i})={\frac {i\cdot (N-i+1)}{(N+1)^{2}(N+2)}}(b-a)^{2}$ .

È immediato calcolare la speranza matematica della semisomma del più piccolo e del più grande valore presenti nel campione

$d={\frac {x_{1}+x_{N}}{2}}$

che vale

$E(d)={\frac {E(x_{1})+E(x_{N})}{2}}={\frac {a+b}{2}}$ ;

come pure quella del cosiddetto range,

$R=x_{N}-x_{1}$

per il quale

$E(R)=E(x_{N})-E(x_{1})=(b-a)\left(1-{\frac {2}{N+1}}\right)$ .

Per il calcolo delle varianze, invece, si deve ricorrere alla distribuzione congiunta (7.6), dalla quale si può ricavare

${\text{Var}}(d)={\frac {(b-a)^{2}}{2(N+1)(N+2)}}$

e

${\text{Var}}(R)={\frac {2(N-1)}{(N+1)^{2}(N+2)}}\,(b-a)^{2}$ .

Note

↑ All’interno dell'intervallo $[a,b]$ ; per brevità ometteremo, qui e nel seguito, di specificare che, al di fuori di questo intervallo, le densità di probabilità sono identicamente nulle e le funzioni di distribuzione valgono o zero od uno.

[1] All’interno dell'intervallo $[a,b]$ ; per brevità ometteremo, qui e nel seguito, di specificare che, al di fuori di questo intervallo, le densità di probabilità sono identicamente nulle e le funzioni di distribuzione valgono o zero od uno.

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