Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.2

by Maurizio Loreti

8.2 La distribuzione normale

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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8.2 La distribuzione normale

La funzione normale (o funzione di Gauss), che esamineremo poi in dettaglio nel prossimo capitolo mettendo l'accento sui suoi legami con le misure ripetute delle grandezze fisiche, è una funzione di frequenza per la x che dipende da due parametri $\mu$ e $\sigma$ (con la condizione $\sigma >0$) definita come

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Figura 8c - L’andamento della funzione $N(x;0,1)$ per la variabile normale standardizzata (ossia con media 0 e varianza 1).

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$f(x)\equiv N(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$.

L’andamento della funzione normale è quello delineato nella figura 8c: quando $x=\mu$ si ha un punto di massimo, nel quale la funzione ha il valore ${\widehat {y}}=(\sigma {\sqrt {2\pi }})^{-1}\approx 0.4/\sigma$. La larghezza a metà altezza¹ è pari all’ampiezza dell’intervallo che separa i due punti $x_{1}$ ed $x_{2}$ di ascissa $\mu \pm \sigma {\sqrt {2\ln 2}}$ e di ordinata $y_{1}=y_{2}={\widehat {y}}/2$: e vale quindi $2\sigma {\sqrt {2\ln 2}}\approx 2.35\sigma$.

La funzione generatrice dei momenti è definita attraverso l’equazione (6.4) e, nel caso della distribuzione normale, abbiamo

$M_{x}(t)$	= $\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{tx}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {e^{t\mu }}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{t(x-\mu )}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}\,\mathrm {d} x$
	$={\frac {e^{t\mu }}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }\!e^{\left[{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}-{\frac {(x-\mu -\sigma ^{2}t)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}\,\mathrm {d} x$
	$=e^{\left(t\mu +{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}{\bigl [}{\frac {x-(\mu +\sigma ^{2}t)}{\sigma }}{\bigr ]}^{2}}\,\mathrm {d} x$.

Riconoscendo nell’argomento dell’integrale la funzione $N(x;\mu +\sigma ^{2}t,\sigma )$, ovverosia la funzione normale relativa ai parametri $\mu +\sigma ^{2}t$ e $\sigma$, è immediato capire che esso vale 1 in conseguenza della condizione di normalizzazione; quindi la funzione generatrice dei momenti, per la distribuzione normale, è data da

$M_{x}(t)\;=\;e^{\left(t\mu +{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$

(8.2)

e, con passaggi simili, si potrebbe trovare la funzione caratteristica della distribuzione normale: che vale

$\phi _{x}(t)\;=\;e^{\left(it\mu -{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$.

(8.3)

Sfruttando la (8.2) è facile calcolare la speranza matematica della distribuzione normale:

$E(x)=\left.{\frac {\mathrm {d} \,M_{x}(t)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\;=\;\mu$;

la funzione generatrice dei momenti rispetto alla media $\mu$ vale allora

${\overline {M}}_{x}(t)\;=\;e^{-t\mu }M_{x}(t)\;=\;e^{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}$

(8.4)

e dalla (8.4) si ricava poi la varianza della x,

${\text{Var}}(x)=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\overline {M}}_{x}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}\;=\;\sigma ^{2}$.

Vista la simmetria della funzione, tutti i suoi momenti di ordine dispari rispetto alla media sono nulli; mentre quelli di ordine pari soddisfano alla formula generale (valida per qualsiasi intero k)

$\mu _{2k}\;=\;E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2k}\right\}\;=\;{\frac {(2k)!}{2^{k}\,k!}}\,{\mu _{2}}^{k}$

(8.5)

con

$\mu _{2}\;=\;E\left\{{\bigl [}x-E(x){\bigr ]}^{2}\right\}\;=\sigma ^{2}$.

Nel caso particolare di una variabile normale con valore medio $\mu =0$ e varianza $\sigma ^{2}=1$ (variabile normale standardizzata), la funzione generatrice dei momenti diventa

$M_{x}(t)\equiv {\overline {M}}_{x}(t)=e^{\frac {t^{2}}{2}}$

e la funzione caratteristica

$\phi _{x}(t)=e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}$.

Dimostriamo ora il seguente importante

Teorema: combinazioni lineari di variabili casuali normali e tutte statisticamente indipendenti tra loro sono ancora distribuite secondo la legge normale.

Siano N variabili normali $x_{k}$ (con $k=1,\ldots ,N$), e siano $\mu _{k}$ e ${\sigma _{k}}^{2}$ i loro valori medi e le loro varianze rispettivamente; consideriamo poi la nuova variabile casuale y definita dalla

$y=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\,x_{k}$

(ove le $a_{k}$ sono coefficienti costanti). La funzione caratteristica di ognuna delle $x_{k}$ è, dalla (8.3),

$\phi _{x_{k}}(t)=e^{\left(it\mu _{k}-{\frac {{\sigma _{k}}^{2}t^{2}}{2}}\right)}$

e quella della variabile ausiliaria $\xi _{k}=a_{k}x_{k}$, dall’equazione (6.17),

$\phi _{\xi _{k}}(t)\;=\;\phi _{x_{k}}(a_{k}t)\;=\;e^{\left(ia_{k}t\mu _{k}-{\frac {{\sigma _{k}}^{2}{a_{k}}^{2}t^{2}}{2}}\right)}$.

Infine, la funzione caratteristica della y vale, essendo

$y=\sum _{k=1}^{N}\xi _{k}$

e ricordando l’equazione (6.11), applicabile perché anche le $\xi _{k}$ sono indipendenti tra loro, otteniamo

$\phi _{y}(t)$	= $\prod _{k=1}^{N}\phi _{\xi _{k}}(t)$
	= $\prod _{k=1}^{N}e^{\left(ita_{k}\mu _{k}-{\frac {1}{2}}t^{2}{a_{k}}^{2}{\sigma _{k}}^{2}\right)}$
	= $e^{\left[it\left(\sum _{k}a_{k}\mu _{k}\right)-{\frac {1}{2}}t^{2}\left(\sum _{k}{a_{k}}^{2}{\sigma _{k}}^{2}\right)\right]}$
	$=e^{\left(it\mu -{\frac {t^{2}\sigma ^{2}}{2}}\right)}$

ove si è posto

$\mu =\sum _{k=1}^{N}a_{k}\,\mu _{k}$

e

$\sigma ^{2}=\sum _{k=1}^{N}{a_{k}}^{2}{\sigma _{k}}^{2}$.

Questa è appunto la funzione caratteristica di una nuova distribuzione normale; e, in virtù di uno dei teoremi enunciati nel paragrafo (6.4), quanto dimostrato prova la tesi.

Note

1. In genere indicata con la sigla FWHM, acronimo di full width at half maximum; è un parametro talvolta usato nella pratica per caratterizzare una curva, perché facile da misurare su un oscilloscopio.