Teoria degli errori e fondamenti di statistica/8.3

by Maurizio Loreti

8.3 La distribuzione di Cauchy

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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8.3 La distribuzione di Cauchy

La distribuzione di Cauchy (o distribuzione di Breit-Wigner, nome con il quale è più nota nel mondo della fisica) è definita da una densità di probabilità che corrisponde alla funzione, dipendente da due parametri $\theta$ e d (con la condizione $d>0$),

$f(x;\theta ,d)\;=\;{\frac {1}{\pi d}}\,{\frac {1}{1+\left({\frac {x-\theta }{d}}\right)^{2}}}$.

(8.6)

Anche se la (8.6) è integrabile, e la sua funzione integrale, ovverosia la funzione di distribuzione della x, vale

$F(x;\theta ,d)\;=\;\int _{-\infty }^{x}\!f(t)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-\theta }{d}}\right)$

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Figura 8d - L’andamento della distribuzione di Cauchy, per $\theta =0$ e $d=1.$

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nessuno dei momenti esiste, nemmeno la media.

$\theta$ è la mediana della distribuzione e d ne misura la larghezza a metà altezza, come è rilevabile ad esempio dalla figura 8d. La funzione caratteristica della distribuzione di Cauchy è la

$\phi _{x}(t;\theta ,d)=e^{i\theta t-|t|\,d}$;

per la cosiddetta variabile standardizzata,

$u={\frac {x-\theta }{d}}$

funzione di frequenza, funzione di distribuzione e funzione caratteristica valgono rispettivamente

${\begin{cases}f(u)\;=\;{\dfrac {1}{\pi \left(1+u^{2}\right)}}\\[3ex]F(u)\;=\;{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{\pi }}\,\arctan u\\[3ex]\phi _{u}(t)\;=\;\displaystyle e^{-|t|}\end{cases}}$

Secondo la funzione (8.6) sono, ad esempio, distribuite le intensità nelle righe spettrali di emissione e di assorbimento degli atomi (che hanno una ampiezza non nulla); e la massa invariante delle risonanze nella fisica delle particelle elementari. È evidente però come nella fisica la distribuzione di Cauchy possa descrivere questi fenomeni solo in prima approssimazione: infatti essa si annulla solo per $x\to \pm \infty$, ed è chiaramente priva di significato fisico una probabilità non nulla di emissione spettrale per frequenze negative, o di masse invarianti anch’esse negative nel caso delle risonanze.

Per la distribuzione di Cauchy troncata, ossia quella descritta dalla funzione di frequenza (per la variabile standardizzata)

$f(u|-K\leq u\leq K)={\begin{cases}0&\quad |u|>K\\[1ex]{\dfrac {1}{2\,\arctan K}}\,{\dfrac {1}{\left(1+u^{2}\right)}}&\quad |u|\leq K\end{cases}}$

(discontinua in $u=\pm K$), esistono invece i momenti: i primi due valgono

$E(u|-K\leq u\leq K)=0$

e

${\text{Var}}(u|-K\leq u\leq K)={\frac {K}{\arctan K}}-1$

Se le $x_{k}$ sono N variabili casuali indipendenti che seguono la distribuzione di Cauchy con parametri $\theta _{k}$ e $d_{k}$, una generica loro combinazione lineare

$y=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\,x_{k}$

segue la stessa distribuzione: infatti la funzione generatrice per le $x_{k}$ è

$\phi _{x_{k}}(t)=e^{i\theta _{k}t-|t|d_{k}}$

e, definendo $\xi _{k}=a_{k}x_{k}$ e ricordando la (6.17),

$\phi _{\xi _{k}}(t)\;=\;\phi _{x_{k}}(a_{k}t)\;=\;e^{ia_{k}\theta _{k}t-|t|\cdot |a_{k}|\,d_{k}}$;

infine, applicando la (6.11),

$\phi _{y}(t)=\prod _{k=1}^{N}\phi _{\xi _{k}}(t)\;=\;e^{i\theta _{y}t-|t|d_{y}}$

ove si è posto

$\theta _{y}=\sum _{k=1}^{N}a_{k}\theta _{k}$

e

$d_{y}=\sum _{k=1}^{N}|a_{k}|d_{k}$.

Una conseguenza importante è che il valore medio di un campione di misure proveniente da una popolazione che segua la distribuzione di Cauchy con certi parametri $\theta$ e d (in questo caso tutte le $a_{k}$ sono uguali e valgono $1/N$) è distribuito anch’esso secondo Cauchy e con gli stessi parametri; in altre parole non si guadagna nessuna informazione accumulando più di una misura (e calcolando la media aritmetica del campione)¹.

Note

1. Esistono altre tecniche, basate però sull’uso della mediana, che permettono di migliorare la conoscenza del valore di $\theta$ disponendo di più di una misura.