Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.1

by Maurizio Loreti

13.1 Un primo esempio

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

13.1 Un primo esempio

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13.1 Un primo esempio

Cominciamo con un esempio didattico: supponiamo che i valori $x_{i}$ si sappiano provenienti da una popolazione normale $N(x;\mu ,\sigma )$ di varianza $\sigma ^{2}$ nota: e che il nostro scopo consista nel discriminare tra due possibili valori $\mu _{1}$ e $\mu _{2}$ per $\mu$; valori che, senza perdere in generalità, supponiamo siano 0 e 1 (potendosi sempre effettuare un opportuno cambiamento di variabile casuale che ci porti in questa situazione). Riassumendo: siano

${\begin{cases}x\sim N(x;\mu ,\sigma )\\H_{0}\equiv \{\mu =0\}\\H_{a}\equiv \{\mu =1\}\\\end{cases}}$

(con $\sigma >0$ noto)

le nostre ipotesi.

La densità di probabilità della $x$ vale

$N(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

e, quindi, la funzione di verosimiglianza ed il suo logaritmo valgono

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )={\frac {1}{{\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}^{N}}}\prod _{i=1}^{N}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}}$

e, rispettivamente,

$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )$	$=-N\,\ln {\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu \right)^{2}$
	$=-N\,\ln {\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{i=1}^{N}\left({x_{i}}^{2}-2\mu x_{i}+\mu ^{2}\right);$

per cui

$\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\mu ,\sigma )=-N\,\ln {\bigl (}\sigma {\sqrt {2\pi }}{\bigr )}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}-2N{\bar {x}}\mu +N\mu ^{2}\right).$

(13.1)

Dalla (13.1) si ricava immediatamente

$\ln \lambda \;=\;\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};0,\sigma )-\ln {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};1,\sigma )\;=\;{\frac {N}{2\sigma ^{2}}}\left(1-2{\bar {x}}\right)$

e la regione di rigetto ${\mathcal {R}}_{k}$ è definita dalla

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;\ln \lambda ={\frac {N}{2\sigma ^{2}}}\left(1-2{\bar {x}}\right)<\ln k\;\right\}$

da cui consegue, con facili passaggi,

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;{\bar {x}}>{\frac {N-2\sigma ^{2}\ln k}{2N}}=c\;\right\}$;

ed insomma $H_{0}$ va rigettata se la media aritmetica del campione ${\bar {x}}$ risulta superiore a $c$; ed accettata altrimenti.

Come si può scegliere un valore opportuno di $k$ (e quindi di $c$)? Gli errori di prima specie (si faccia riferimento anche alla figura 13a) hanno probabilità

$P_{I}=1-\alpha =\Pr \left({\bar {x}}>c|H_{0}\right)=\int _{c}^{+\infty }N\left(x;0,{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}\right)\mathrm {d} x$

(13.2)

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Figura 13a - L’esempio del paragrafo 13.1, con delineate (in corrispondenza ad un particolare valore di c) le probabilità degli errori di prima e seconda specie; le due curve sono $N(0,\sigma /{\sqrt {N}})$ e $N(1,\sigma /{\sqrt {N}})$.

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e quelli di seconda specie

$P_{II}\;=\;1-\beta \;=\;\Pr {\bigl (}{\bar {x}}<c|H_{a}{\bigr )}\;=\;\int _{-\infty }^{c}\!N\left(x;1,{\frac {\sigma }{\sqrt {N}}}\right)\,\mathrm {d} x$

(13.3)

per cui si hanno svariate possibilità: ad esempio, se interessa contenere gli errori di prima specie e la dimensione del campione è nota, si fissa un valore opportunamente grande per $\alpha$ e dalla (13.2) si ricava $c$; o, se interessa contenere gli errori di seconda specie e la dimensione del campione è nota, si fissa $\beta$ e si ricava $c$ dalla (13.3); o, infine, se si vogliono contenere gli errori di entrambi i tipi, si fissano sia $\alpha$ che $\beta$ e si ricava la dimensione minima del campione necessaria per raggiungere lo scopo utilizzando entrambe le equazioni (13.2) e (13.3).