Teoria degli errori e fondamenti di statistica/13.2

by Maurizio Loreti

13.2 Il lemma di Neyman-Pearson

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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13.2 Il lemma di Neyman-Pearson

L’essere ricorsi per la definizione della regione di rigetto ${\mathcal {R}}$ al calcolo del rapporto delle funzioni di verosimiglianza non è stato casuale; esiste infatti un teorema (il cosiddetto lemma di Neyman— Pearson) il quale afferma che

Se si ha a disposizione un campione di N valori indipendenti $x_{i}$ da utilizzare per discriminare tra un’ipotesi nulla ed un’ipotesi alternativa entrambe semplici, e se è richiesto un livello fisso $\alpha$ di significanza, la massima potenza del test (ovvero la minima probabilità di errori di seconda specie) si raggiunge definendo la regione di rigetto ${\mathcal {R}}_{k}$ attraverso una relazione del tipo

${\mathcal {R}}_{k}\;\equiv \;\left\{\;\lambda ={\frac {{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{0})}{{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|H_{a})}}<k\;\right\}$.

(13.4)

Infatti, indicando con $f=f(x;\theta )$ la densità di probabilità della variabile $x$ (che supponiamo dipenda da un solo parametro $\theta$), siano $H_{0}\equiv \{\theta =\theta _{0}\}$ e $H_{a}\equiv \{\theta =\theta _{a}\}$ le due ipotesi (semplici) tra cui decidere; la funzione di verosimiglianza vale, come sappiamo,

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};\theta )$.

Indichiamo con $\Re$ l’insieme di tutte le regioni ${\mathcal {R}}$ per le quali risulti

$P_{I}\;=\;\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;=\;1-\alpha$

(13.5)

con $\alpha$ costante prefissata (nella (13.5) abbiamo sinteticamente indicato con $\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$ il prodotto $\mathrm {d} x_{1}\,\mathrm {d} x_{2}\cdots \mathrm {d} x_{N}$). Vogliamo trovare quale di queste regioni rende massima

$\beta \;=\;1-P_{II}\;=\;\int _{\mathcal {R}}\!{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}};\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$.

Ora, per una qualsiasi regione ${\mathcal {R}}\neq {\mathcal {R}}_{k}$, valgono sia la

${\mathcal {R}}_{k}\;=\;({\mathcal {R}}_{k}\cap {\mathcal {R}})\cup ({\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}\,)$

che la

${\mathcal {R}}\;=\;({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {R}}_{k})\cup ({\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k})$;

e quindi, per una qualsiasi funzione $\phi ({\boldsymbol {x}})$, risulta sia

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}\!\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;=\;\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\mathcal {R}}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}+\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$

che

$\int _{\mathcal {R}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}=\int _{{\mathcal {R}}\cap {\mathcal {R}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}+\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$

e, sottraendo membro a membro,

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;=\;\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}\phi ({\boldsymbol {x}})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}.$

(13.6)

Applicando la (13.6) alla funzione ${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})$ otteniamo:

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;=$
$=\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}$;	(13.7)

ma, nel primo integrale del secondo membro, essendo la regione di integrazione contenuta in ${\mathcal {R}}_{k}$, deve valere la (13.4); e quindi risultare ovunque

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\;>\;{\frac {1}{k}}\cdot {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})$

mentre, per lo stesso motivo, nel secondo integrale

${\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\;\leq \;{\frac {1}{k}}\cdot {\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})$

e quindi la (13.7) implica che

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}>$

$>{\frac {1}{k}}\cdot \left[\int _{{\mathcal {R}}_{k}\cap {\bar {\mathcal {R}}}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{{\mathcal {R}}\cap {\bar {\mathcal {R}}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\right]$.

Ricordando la (13.6),

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;>\;{\frac {1}{k}}\cdot \left[\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{0})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\right]$

e, se ${\mathcal {R}}\in \Re$ e quindi soddisfa anch’essa alla (13.5),

$\int _{{\mathcal {R}}_{k}}{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}-\int _{\mathcal {R}}\!{\mathcal {L}}({\boldsymbol {x}}|\theta _{a})\,\mathrm {d} {\boldsymbol {x}}\;>\;{\frac {1}{k}}\cdot \left[P_{I}-P_{I}\right]\;=\;0$

che era la nostra tesi.