Teoria degli errori e fondamenti di statistica/4.2.2

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

4.2.2 La mediana

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4.2.2 La mediana

Un’altra stima di tendenza centrale di uso frequente nella statistica (anche se non nella fisica) è la mediana di un campione: indicata col simbolo ${\tilde {x}}$ , è definita come quel valore che divide l’istogramma dei dati in due parti di uguale area ¹; in termini meno precisi, la mediana lascia un uguale numero di dati alla propria sinistra ed alla propria destra ². Usando questa forma della definizione, per trovare la mediana di un insieme di valori tutti distinti basta disporli in ordine crescente e prendere il valore centrale (per un numero dispari di misure; si prende la semisomma dei due valori centrali se le misure sono in numero pari).

Al contrario della moda, la mediana esiste sempre; nel diagramma della frequenza cumulativa relativa è definita dall’ascissa corrispondente all’ordinata del 50%. Si può dimostrare anche che la mediana ${\tilde {x}}$ è quel valore di $x$ che rende minima la somma dei valori assoluti degli scarti delle nostre

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Figura 4c - Due distribuzioni unimodali (in alto), una bimodale (in basso a sinistra), una senza moda (in basso a destra); questʼultima distribuzione simula il campionamento a istanti casuali dellʼelongazione di un pendolo.

[p. 37 modifica]misure

x_{i}

da

x

; cioè tale

che

$\min \left\{\sum _{i=1}^{N}\vert x_{i}-x\vert \right\}=\sum _{i=1}^{N}\vert x_{i}-{\tilde {x}}\vert .$

Note

↑ Il valore della mediana di un insieme di dati, così definito, dipende dalla scelta delle classi di frequenza; per questo motivo la mediana in genere non si adopera tanto per i campioni sperimentali di dati, quanto per le distribuzioni teoriche.
↑ Basta applicare le due definizioni ad un insieme di dati composto dai tre valori $\{0,1,1\}$ per rendersi conto della differenza.

[1] Il valore della mediana di un insieme di dati, così definito, dipende dalla scelta delle classi di frequenza; per questo motivo la mediana in genere non si adopera tanto per i campioni sperimentali di dati, quanto per le distribuzioni teoriche.

[2] Basta applicare le due definizioni ad un insieme di dati composto dai tre valori $\{0,1,1\}$ per rendersi conto della differenza.

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