Teoria degli errori e fondamenti di statistica/4.2.4

by Maurizio Loreti

4.2.4 Considerazioni complessive

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Maurizio Loreti - Teoria degli errori e fondamenti di statistica (2006)

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4.2.4 Considerazioni complessive

Oltre le tre stime citate di tendenza centrale ne esistono altre, di uso però limitato a casi particolari e che non hanno frequente uso né nella statistica né nella fisica; per soli motivi di completezza citiamo qui:

• la media geometrica, $g$, definita come la radice $N$-esima del prodotto degli $N$ valori rappresentati nel campione:

$g^{N}=\prod _{i=1}^{N}x_{i};$

• la media armonica, $h$, definita come il reciproco del valore medio dei reciproci dei dati:

${\frac {1}{h}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{x_{i}}};$

• la media quadratica, $q$, definita come la radice quadrata del valore medio dei quadrati dei dati:

$q={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{2}}}.$

Se la distribuzione dei dati non è troppo irregolare, le prime tre stime citate per la tendenza centrale (moda, mediana e media aritmetica) non sono molto lontane; esiste una relazione empirica che le lega e che è valida per distribuzioni non troppo asimmetriche:

$\vert {\bar {x}}-{\widehat {x}}\vert \approx 3\vert {\bar {x}}-{\tilde {x}}\vert ,$

cioè la differenza tra media aritmetica e moda è circa il triplo della differenza tra media aritmetica e mediana.

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Figura 4d - I valori delle tre principali stime di tendenza centrale per la distribuzione di Maxwell-Boltzmann; l’unità per le ascisse è il parametro $\alpha$ che compare nellʼequazione (4.4).

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Come esempio, nella figura 4d è mostrato lʼandamento di una distribuzione di probabilità per una variabile (continua) che è di interesse per la fisica; e nel grafico sono messi in evidenza i valori per essa assunti dalle tre stime di tendenza centrale considerate. Si tratta della funzione di frequenza detta di Maxwell-Boltzmann, e secondo essa sono ad esempio distribuiti, in un gas perfetto, i moduli delle velocità delle molecole: lʼequazione della curva è

$y=f(v)={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}\alpha ^{\frac {3}{2}}v^{2}e^{-\alpha v^{2}}$

(4.4)

(in cui $\alpha$ è una costante dipendente dalla massa delle molecole e dalla temperatura del gas).

La scelta dellʼuso dellʼuna o dellʼaltra stima statistica per determinare la tendenza centrale di un campione di misure ripetute andrà decisa sulla base delle proprietà delle stime stesse; più precisamente sulla base dello studio di come si distribuiscono varie stime che si riferiscano a campioni analoghi, cioè ad insiemi di misure della stessa grandezza fisica presumibilmente affette dallo stesso errore (eseguite insomma in condizioni simili) e composti da uno stesso numero di dati. La stima che sceglieremo dovrebbe essere la migliore, nel senso già usato allʼinizio di questo paragrafo 4.2: quella che ha la maggiore probabilità di darci il valore vero della grandezza misurata.