Gli Elementi d'Euclide/Libro Secondo/Esercizi
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Esercizi.
1. Se si congiunge con una retta (mediana) il vertice di un angolo acuto d’un triangolo rettangolo col punto di mezzo del lato opposto, il quadrato di quella retta sarà minore del quadrato dell’ipotenusa dì tre volte il quadrato della metà del cateto bisecato.
2. Se dal punto medio di un cateto di un triangolo rettangolo si abbassa la perpendicolare sull’ipotenusa, la differenza dei quadrati dei segmenti dell’ipotenusa è uguale al quadrato dell’altro cateto.
3. In qualunque triangolo, se dal vertice si abbassa la perpendicolare sulla base, la differenza dei quadrati dei lati è uguale alla differenza dei quadrati dei segmenti della base.
4. Sia OAB un quadrante di circolo, il cui centro è O, da un punto qualunque C dell’arco si abbassi CD perpendicolare sopra OA od OB, la quale incontri in E il raggio che biseca l’angolo AOB; dimostrare che la somma dei quadrati di CD e DE è uguale al quadrato di OA.
5. Se da un punto qualunque del diametro di un semicerchio si tirano due rette alla circonferenza, una al punto medio dell’arco e l’altra perpendicolare al diametro, la somma dei quadrati di queste due rette è doppia del quadrato del raggio.
6. Se A è il vertice di un triangolo isoscele ABC, e CD sia condotta perpendicolarmente ad AB, provare che la somma dei quadrati dei tre lati è uguale alla somma del quadrato di BD, del doppio quadrato di AD e del triplo quadrato di CD.
7. Se da un punto qualunque si conducono le perpendicolari su tutti i lati di un poligono, la somma dei quadrati dei segmenti non contigui dei lati è uguale alla somma dei quadrati degli altri segmenti.
8. Se dal vertice di uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo si tira una retta sino al lato opposto, la somma dei quadrati di questo lato e di quella retta è uguale alla somma dei quadrati dell’ipotenusa e del segmento del lato adiacente all’angolo retto.
9. Descrivere un quadrato uguale alla differenza di due quadrati dati.
10. Dividere, quando sia possibile, una retta data in due parti, in modo che la somma dei loro quadrati sia uguale ad un quadrato dato.
11. Dal punto medio D del lato AC di un triangolo equilatero ABC, condotta DE perpendicolare a BC, dimostrare che il quadrato di BD è tre quarti del quadrato di BC, e che la retta BE è tre quarti di BC.
12. Se dal vertice A di un triangolo rettangolo ABC, si abbassa AD perpendicolare sull’ipotenusa, dimostrare che i rettangoli di BC e BD, di BC e CD, di BD e CD sono rispettivamente uguali ai quadrati di AB, AC, AD.
13. Prolungare una retta data in modo che il rettangolo contenuto dalla intera retta prolungata e dalla retta data sia uguale ad un quadrato dato.
14. Se sul raggio di un cerchio si descrive un semicerchio e si conduce una perpendicolare al diametro comune, il quadrato della corda del cerchio maggiore, compresa fra il termine del diametro ed il punto di sezione della perpendicolare, sarà doppio del quadrato della corrispondente corda nel cerchio minore.
15. Dividere una retta in due punti equidistanti dai suoi estremi, in modo che il quadrato della parte media sia uguale alla somma dei quadrati delle estreme; e dimostrare che allora il quadrato dell’intera retta è uguale alla somma dei quadrati delle parti estreme e del doppio rettangolo dell’intera retta e della parte media.
16. Dividere una retta in due parti in modo che la somma dei quadrati dell’intera retta e di una parte sia uguale al doppio quadrato dell’altra parte; e dimostrare che allora il quadrato della parte maggiore è uguale al doppio rettangolo dell’intera retta e della parte minore. 17. Dividere una retta in due parti, in modo che la somma de’ loro quadrati sia la più piccola possibile.
18. Dimostrare che la somma dei quadrati di due rette non è mai minore del doppio loro rettangolo, e che la differenza dei loro quadrati è uguale al rettangolo contenuto dalla loro somma e dalla loro differenza.
19. ABCD è un rettangolo, E un punto qualunque in BC, ed F in CD; dimostrare che il rettangolo ABCD è uguale a due volte il triangolo AEF insieme col rettangolo delle BE, DF.
20. Se una retta è divisa in due parti uguali ed anche in due parti disuguali, la somma dei quadrati delle due parti disuguali è uguale a due volte il rettangolo contenuto da queste parti, insieme con quattro volte il quadrato della retta compresa fra i due punti dì divisione.
21. Se dal vertice di uno degli angoli uguali di un triangolo isoscele si cala una perpendicolare sul lato opposto, il doppio rettangolo contenuto da questo lato e dal segmento di esso adiacente alla base è uguale al quadrato della base.
22. A, B, C, D sono quattro punti nella stessa retta. E è un punto della retta medesima, ugualmente distante dai punti medi dei segmenti AB, CD; F è un altro punto in AD; dimostrare che la somma dei quadrati di AF, BF, CF, DF supera la somma dei quadrati di AE, BE, CE, DE, di quattro volte il quadrato di EF.
23. Se i termini di una corda qualunque di un cerchio si congiungono ad un punto qualunque del diametro parallelo alla corda, la somma dei quadrati delle congiungenti è uguale alla somma dei quadrati dei segmenti del diametro.
24. In un triangolo isoscele ABC, se AD congiunge il vertice ad un punto qualunque della base, provare che la differenza dei quadrati di AB e AD è uguale al rettangolo di BD e CD.
25. Se nella fig. della prop. 47, Eucl., I, si uniscono i vertici, la somma dei quadrati dei sei lati della figura risultante è uguale ad otto volte il quadrato dell’ipotenusa.
26. Se un angolo di un triangolo è quattro terzi di un retto, il quadrato del lato opposto è uguale alla somma dei quadrati dagli altri due lati insieme col rettangolo contenuto da questi.
27. Se nel triangolo ABC, ciascuno degli angoli B, C è doppio dell’angolo A, il quadrato di AB è uguale al quadrato di BC insieme al rettangolo di AB e BC.
28. In un triangolo qualunque ABC, se BP, CQ sono condotte perpendicolarmente ad AC, AB, prolungate se è necessario, il quadrato di BC è uguale al rettangolo di AB, BQ, insieme col rettangolo di AC, CP.
29. Se il vertice dell’angolo retto di un triangolo rettangolo si congiunge ai vertici opposti del quadrato descritto sull’ipotenusa là differenza dei quadrati delle congiungenti è uguale alla differenza dei quadrati dei due cateti.
30. In un triangolo qualunque la somma dei quadrati di due lati è doppia della somma del quadrato della metà della base e del quadrato della retta che congiunge il punto medio della base al vertice opposto.
31. Se DB divide per mezzo in D il lato AC del triangolo ABC, e se AE è perpendicolare a BC, dimostrare che il quadrato di BD è uguale alla somma o alla differenza del quadrato della metà di AC, e del rettangolo di BE, BC, secondo che E sia in BC o nel prolungamento di BC.
32. Un rettangolo qualunque è la metà del rettangolo contenuto dalle diagonali dei quadrati de’ suoi lati.
33. Se un punto qualunque preso dentro ad un rettangolo si congiunge ai vertici, la somma dei quadrati delle congiungenti, condotte a due vertici opposti, è uguale alla somma dei quadrati delle altre due.
34. La somma dei quadrati delle diagonali di un parallelogrammo è uguale alla somma dei quadrati dei quattro lati.
35. La somma dei quadrati delle diagonali di Un quadrilatero è superata dalla somma dei quadrati dei lati di quattro volte il quadrato della retta che unisce i punti medi delle diagonali.
36. La somma dei quadrati delle diagonali di un quadrilatero è doppia della somma dei quadrati delle due rette congiungenti i punti medi dei lati opposti. 37. La somma dei quadrati dei lati di un triangolo è tripla della somma dei quadrati delle distanze dei vertici dal punto comune alle mediane.
38. Se due lati opposti di un quadrilatero sono divisi per metà, la somma dei quadrati degli altri due lati insieme coi quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati dei lati bisecati insieme col quadruplo del quadrato della retta che unisce i punti di bisezione.
39. La somma dei quadrati delle diagonali di un trapezio è uguale alla somma dei quadrati de’ suoi lati non paralleli insieme col doppio rettangolo contenuto dai lati paralleli.
40. Se BD, CE sono i quadrati descritti sui lati AB, AC di un triangolo, mostrare che la somma dei quadrati di BC e DE è doppia della somma dei quadrati di AB ed AC.
41. Se si descrivono i quadrati sui lati di un triangolo qualunque, e si congiungono i vertici di questi quadrati, la somma dei quadrati dei lati della figura esagona così ottenuta sarà uguale a quattro volte la somma dei quadrati dei lati del triangolo.
42. Presi due punti nel diametro di un cerchio, egualmente distanti dal centro, la somma dei quadrati delle due rette condotte da questi punti ad un punto qualunque della circonferenza sarà costante.
43. L’ipotenusa AB di un triangolo rettangolo ABC sia divisa in tre parti uguali, ne’ punti D, E; provare che congiunte CD, CE, la somma dei quadrati dei lati del triangolo CDE è due terzi del quadrato di AB.
44. Dividere una retta data in due parti contenenti un rettangolo uguale ad un quadrato dato.
45. Se un triangolo è uguale ad un quadrato, il perimetro del triangolo è maggiore del perimetro del quadrato.
46. ABCD è un quadrilatero, E il punto medio della retta congiungente i punti medi delle diagonali; se col centro E si descrive un cerchio, e sia P un punto qualunque della circonferenza, dimostrare che la somma dei quadrati delle rette PA, PB, PC, PD è uguale alla somma dei quadrati delle rette EA, EB, EC, ED insieme con quattro volte il quadrato di EP.