Elementi/Libro primo/Propositione 13

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Libro primo
Propositione 13

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Theorema.6. Propositione.13.

13|13 Li duoi angoli constituidi de ogni linea retta, che stia sopra a una linea retta, ouero che sono retti, ouero che son equali a duoi angoli retti.

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Sia che la linea .a.b. stia sopra alla linea .c.d. dico che li duoi angoli constituidi dalla detta linea .a.b. con la linea .c.d. ouer che sono ambiduoi retti. ouer che son equali a duoi angoli retti, liquali angoli l’uno è l’angolo .a.b.d. & l’altro è l’angolo .a.b.c. & per dimostrar questo arguirò in questo modo. Ouer che la linea .a.b. serà perpendicolare sopra la .c.d. ouer non: se la serà perpendicolare sopra la detta linea .c.d. constituerà duoi angoli equali è retti: per lo conuerso modo della ottaua diffinitione, che è il primo propofito. Ma se la non serà perpendicolare, ma che quella sia declinante sopra quella, poniamo uerso .d. all’hora la detta linea .a.b. constituerà duoi angoli, l’uno di quali serà acuto, cioè l’angolo .a.b.d. et l’altro serà ottuso cioè l’angolo .a.b.c. hor dico che questi duoi angoli insieme sono equali a duoi angoli retti, & per dimostrar questo, dal ponto .b. conduro la perpendicolare .b.e. per l’undecima propositione, sopra la linea .c.d. dellaquale li duoi angoli .e.b.c. & .e.b.d. sono retti, per lo conuerso modo della ottaua diffinitione, adonque perche li duoi angoli .d.b.a. et .a.b.e. se equaliano all’angolo .d.b.e. ilqual è retto, giontoli anchora l’angolo .c.b.e. che è retto, tutti tre seranno equali a duoi angoli retti, perche li duoi, cioe .d.b.a. et .a.b.e. sono equali all’angolo .d.b.e. che è retto: il terzo,cioe l’angolo .e.b.c. da se è retto, però tutti tre sono equali a duoi retti, ma l’angolo .a.b.c. ottuso è equale a duoi di quelli tre angoli, cioe all’angolo .c.b.e. che è retto etiam l’angolo .e.b.a. adonque li duoi angoli .a.b.c. & .a.b.d. sono equali a duoi angoli retti, che è il proposito. Et nota che per questa propositione si manifesta che tutto il spacio che circonda un ponto, in qual si uoglia superficie piana, sempre quello serà equale a quattro angoli retti.