31|31 L’angolo estrinsico di ogni triangolo: d’un lato produto, è equale alli duoi intrinsici a lui oppositi, Et tutti li tre angoli intrinsici di quello è necessario esser equali a duoi angoli retti.
Sia el triangolo .a.b.c. e sia alongato el lato .b.c. fina in .d. dico che l’angolo a.c.d. estrinsico si è equale alli duoi angoli .a. & .b. intrinsici oppositi a se, insieme gionti; & che li tre angoli .a.b.c. del ditto triangolo .a.b.c. insieme gionti sono equali a duoi angoli retti e per dimostrar questo dal ponto .c. tirarò (per la dottrina della precedente) la linea .c.f. equidistante alla linea .a.b. & l’angolo .f.c.a. serà equale all’angolo ,a, (per la prima parte della uigesima nona) perche sono coalterni, & l’angolo .f.c.d. estrinsico serà equale all’angolo .b.intrinsico (per la seconda parte della medesima uigesima nona propositione) per laqual cosa tutto l’angolo .a.c.d. estrinsico si è equale alli duoi angoli.a. & .b. intrinsici a lui oppositi che el nostro primo proposito, & perche li duoi angoli .a.c.b. et .a.c.d. son equali a duoi angoli retti (per la terza decima propositione) adonque li tre angoli .a.b. et .c. intrinsici del triangolo seranno equali a dui angoli retti che è il secondo proposito, et nota che per questa propositione è manifesto che tutti li angoli de ogni figura moltiangola tolti insieme sono equali a tanti angoli retti quanto è el numero ch’ella è distante dalla prima, duplicato uerbigratia delle figure moltiangole, ouero poligonie la prima de tutte si è il triangolo, perche non si puo formar figura de rette linee de mancho de tre lati, perche con duoi linee rette non si puo constituire figura superficiale (per la ultima petitione) pero el triangolo è la prima figura de rette linee, la seconda figura si è il quadrilatero, la terza si è il penthagono, ouero figura de cinque lati & angoli & cosi ascendendo el numero delli lati ouero angoli a qual numero, si uoglia; cauando di quello el numero binario el rimanente serà el numero dell’ordine della figura come Esempli gratia de una figura de otto lati, & angoli per uoler el numero ordinario della detta figura caua de
[p. 31vmodifica] otto duoi, per regola ferma resta sei, per lo numero ordinario della figura predetta adonque lei serà la sesta figura & osi se procederà in ciascuna altra, dico adonque chel triangolo qual è la prima figura tutti li suoi angoli sono equali a duoi angoli retti, cioè a tanti angoli retti quanto è il doppio del numero ordinario della figura, che è uno per essere la prima, li quattro angoli d’uno quadrangolo seranno equali a quattro angoli retti, cioè al doppio del numero ordenario della figura laquale è duoi per esser la seconda el doppio de duoi si è quattro & li cinque angoli del penthagono che e la terza seran equali a sei angoli retti cioè al doppio de tre che è el numero ordenario della figura de cinque angoli & li otto angoli de una figura de otto lati seranno equali a duodeci angoli retti cioè al doppio de sei ch’è el numero ordinario de detta figura come de sopra fu detto & cosi uscirà in ciascun’altra figura de molto numero de angoli laqual cosa se manifesta della infrascritta causa perche qualunche figura tale si e diuisibile & resolubile in tanti triangoli quanto distarà dalla prima ouer quanto è el suo numero ordinario tirando le rette linee da qual uoi de soi angoli alli angoli oppositi & tutti li tre angoli de ogni triangolo di quella resolutione sono equali a dui angoli retti pero se indupla el numero ordinario della figura, elqual numero deriua del numero delli triangoli componenti essa figura, el qual numero de triangoli sempre serà duoi, cioè duoi manco chel numero delli angoli, ouer lati de ditta figura: Esempli gratia. Sia el penthagono .a.b.c.d.e. da l’angolo .a. di quello produrò le linee .a.c. & .a.d. alli duoi angoli .c. & .d. oppositi di ditto angolo .a. e serà el ditto penthagono tutto risolto in li triangoli .a.b.c.a.c.d. Et .a.d.e. liquali sono tre, si come è il numero ordinario della detta figura, laqual, come di sopra dissi, è la terza, et perche li tre angoli di ciascun de ditti tre triangoli sono equali a duoi angoli retti, però se indoppia el numero de ditti triangoli cioè el numero ordinario della figura che tre farà sei per el numero deli angoli retti a che se equaliano li cinque angoli de detta figura che è il proposito. Anchora puotemo proponere lamedesima materia in questo altro modo dicendo che tutti li angoli de ogni figura poligonia ouero moltiangola equalmente tolti insieme, sono equali a tanti angoli retti quanto è il doppio del numero delli suoi angoli, trattone sempre quattro per regola cioè trattone quattro del doppiamento fatto, laqual cosa se dimostra cosi da un ponto tolto dentro di detta figura, a ciascun angolo de detta figura, siano tirate linee, tutta la detta figura serà resoluta in tanti triangoli quanto seranno li suoi angoli, come appar in la figura de otto angoli che cè dentro, laqual è resoluta in otto triangoli che li tre angoli cadauno sono equali a duoi angoli retti, però fra loro otto triangoli conteneranno sedeci angoli retti, delli quali sedeci quattro ne formano fra loro otto atorno al ponto che[p. 32rmodifica]è de dentro della figura doue ciascun di loro terminano con uno angolo occupando tutto quello spacio che attorno al predetto ponto, ilquale spacio sempre sè equalia a quattro angoli retti, come in fine della terciadecima propositione fu detto, & approuato adonque de quelli sedeci angoli retti ne caueremo quattro per regola, cioè per li quattro fatti attorno al ponto, resta duodeci per il numero dalli angoli retti a chi se equaliano li otto angoli della datta figura, che è il proposito. Anchora el se manifesta per le cose ditte che protrahendo ciascun lato d’una figura moltiangolo tutti li angoli estrinsici gionti insieme se equaliano a quattro angoli retti che cosi se dimostrarà, sopra il penthagono .a.b.c.d.e. protratto il lato .a.b. fina in f. il lato .b.c. fin a .g. il lato .c.d. fin in .h. il lato .d.e. fin in .k. il lato .e.a. fin in .l. hor dico che tutto l’angolo .a. intrinsico del penthagono con l’angolo estrinsico sono equale a duoi angoli retti per la tertiadecima propositione, & per la medesima ragione li duoi angoli .b. intrinsico & .b. estrinsico, & cosi de tutti li altri, per laqual cosa li angoli .a.b.c.d.e. intrinsici & estrinsici seranno fra tutti equali a diece angoli retti, ma perche li cinque angoli del ditto penthagono son è quali a sei angoli retti, come di sopra fu demostrato. Adonque se delli detti diece angoli retti a chi se equaliano li predetti angoli intrinsici & estrinsici del penthagone cauaremo li sei, a chi se equalia li cinque angoli intrinsici, cioè quelli del penthagono resteranno quattro per li angoli estrinseci, cioè li angoli .b.a.l.c.b.f.d.c.g.e.d.h. & .a.e.k. adonque tutti li ditti angoli estrinseci del predetto penthagono si egualiano a quattro angoli retti, & cosi riuscirà in ciascun’altra figura poligonia che è il proposito.
Anchora è manifesto, che di ogni penthagono, delqual caduno lato sega dui delli altri lati, ha cinque angoli equali a duoi angoli retti.
Sia il penthagono che se prepone .a.b.c.d.e. et conciosia chel lato .a.c. seghi lo lato .b.e. in ponto .g. & lo lato .a.d. seghi il medesimo in ponto .f. et l’angolo .a.f.g. serà equale alli duoi angoli .b. & .d. conciosia che quello sia lo estrinseco a quelli, in lo triangolo .f.d.b. similmente l’angolo .f.g.a. sarà equale alli duoi angoli .c. & .e. conciosia che quello sia lo estrinsico a quelli in lo triangolo .g.c.e. ma li dui angoli .a.f.g. & .f.g.a. insieme con l’angolo .a. sono equali a duoi angoli retti. Adonque li quattro angoli b.d. & .c.e. insieme con l’angolo .a. sono equali a duoi angoli retti che è il proposito.
