Gli Elementi d'Euclide/Libro Primo/Esercizi

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Esercizi

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Esercizi.



1. La somma delle rette condotte da un punto situato nell’interno di un triangolo ai tre vertici è minore della somma dei tre lati e maggiore della metà di quest’ultima somma.

2. I punti equidistanti da due punti dati sono nella retta che biseca ad angolo retto quella che unisce i punti dati.

3. I punti equidistanti da due rette date sono nelle rette che dividono per metà gli angoli delle rette date.

4. Se da un punto qualunque della base di un triangolo isoscele si conducono le perpendicolari ai lati, la somma di queste è uguale alla distanza di un termine della base dal lato opposto.

5. Sopra una retta data descrivere un triangolo isoscele, nel quale ciascuno dei lati uguali sia doppio della base.

6. Se due circoli si segano fra loro, la retta che congiunge i loro punti d’intersezione è bisecata ad angolo retto dalla retta che passa pei centri.

7. Delle rette che da un punto dato si possono condurre a terminare ad una" retta data la perpendicolare è la minima; quella che è più vicina alla perpendicolare è minore di quella che è più lontana; e due sole rette uguali si possono condurre dal punto dato alla retta, l’una da una parte e l’altra dall’altra parte della perpendicolare.

8. Da un punto dato fuori di una retta data tirare una retta che faccia colla data un angolo dato.

9. Costruire un triangolo, dati due lati e l’angolo opposto ad uno di essi.

10. Descrivere un circolo che passi per due punti dati ed abbia il centro sopra una retta data.

11. Da due punti dati dalla stessa parte di una retta data condurre due rette che s’incontrino sulla retta data e facciano con questa angoli uguali.

12. Intorno ad una retta data, come diagonale, descrivere il quadrato. [p. 55 modifica]

13. La differenza di due lati di un triangolo è sempre minore del terzo lato.

14. La somma delle diagonali di un quadrilatero è minore della somma delle quattro rette che congiungono un punto qualunque ai quattro vertici.

15. Costruire un triangolo, essendo dati un lato, un angolo adiacente e la somma o la. differenza degli altri due lati.

16. Da un punto dato condurre tre rette di grandezze date, in modo che i loro termini cadano in linea retta e vi determinino due segmenti uguali.

17. Nella figura della prop. 5 (Eucl.), se BG, CF si incontrano in H, mostrare che AH divide per metà l’angolo BAC.

18. Se una retta, che divide per metà l’angolo al vertice di un triangolo, divide per metà anche la base, il triangolo è isoscele.

19. Da un punto dato condurre una retta che faccia angoli uguali con due rette date.

20. Per un punto dato condurre una retta che sia ugualmente distante da due altri punti dati.

21. Le rette che dividono per metà gli angoli di un triangolo concorrono in un punto.

22. Le rette che bisecano ad angolo retto i lati di un triangolo concorrono in un punto.

23. Se si prolungano due lati di un triagolo, le rette che bisecano i due angoli esterni e quella che biseca il terzo angolo interno concorrono in un punto.

24. Se una retta avente i termini su due rette parallele è divisa per metà, ogni altra retta tirata pel punto di divisione fra le due parallele, sarà ivi divisa per metà.

25. Le diagonali di un parallelogrammo si dividono scambievolmente per metà.

26. Un rombo è parallelogrammo, e le sue diagonali si bisecano fra loro ad angolo retto.

27. La retta che congiunge i punti medi dei lati non paralleli di un trapezio1 è uguale alla semisomma dei due lati paralleli.

28. Se un parallelogrammo ha le diagonali uguali, esso è rettangolo.

29. Da un dato triangolo isoscele segare un trapezio che [p. 56 modifica]abbia la stessa base del triangolo e gli altri tre lati uguali fra loro.

30. Se si congiungono fra loro i punti medi dei lati di un triangolo, i quattro triangoli risultanti sono uguali.

31. Il quadrilatero le cui diagonali si bisecano scambievolmente, è un parallelogrammo.

32. Condurre una retta cha se fosse prolungata dividerebbe per metà l’angolo di due rette date; e ciò senza prolungare queste fino al loro incontro.

33. Condurre una retta DE parallela alla base DC di un triangolo ABC, in modo che DE sia uguale alla somma o alla differenza di BD e CE.

34. Se AB è divisa per metà in C, e da A, B, C, si tirino delle rette parallele a incontrare una retta, data in D, E, F, dimostrare che CF è uguale alla semisomma o alla semidifferenza di AD e BE.

35. Per un punto dato fra due rette date tirare una retta in modo che i segmenti intercetti fra esso punto e le rette date siane uguali.

36. ABCD è un parallelogrammo; per A tirare una retta qualunque e mostrare che la distanza di C da questa retta è uguale alla somma o alla differenza delle distanze di B e D dalla retta medesima.

37. Da un punto dato entro l’angolo di due rette date tirare una retta in modo che i segmenti compresi fra esso punto e le rette date siano l’uno doppio dell’altro.

38. Di tutti i triangoli che hanno lo stesso angolo al vertice e le cui basi passano per un punto dato, il minimo è quello la cui base è bisecata in questo punto.

39. Nella diagonale prolungata di un quadrato trovare un punto dal quale se si tira una retta parallela ad un lato e segante un altro lato prolungato, essa formi colla diagonale prolungata e col lato prolungato un triangolo uguale al quadrato dato.

40. Nella figura della prop. 5 (Eucl.), se BG, CF si incontrano in H, e se gli angoli FBG, ABC sono uguali, l’angolo BHF è doppio dell’angolo BAC.

41. Nella figura della prop. 1 (Eucl.), se si prolungano CA, CB ad incontrare le circonferenze in D, E, e se F è l’altro punto d’intersezione dei due cerchi, mostrare che D, E, F sono in linea retta.

42. Dividere un angolo in tre parti uguali. [p. 57 modifica]43. Se uno degli angoli acuti di un triangolo rettangolo è triplo dell’altro angolo acuto, dividere in tre parti uguali l’angolo acuto minore.

44. Se si prolunga la base di un triangolo isoscele, il doppio dell’angolo esterno supera di due retti l’angolo al vertice.

45. Dividere una retta data in tre parti uguali.

46. Dividere un triangolo equilatero in nove parti uguali.

47. La differenza degli angoli alla base di un triangolo

qualunque è doppia dell’angolo contenuto da due rette tirate dal vertice, l’una che bisechi l’angolo al vertice, e l’altra perpendicolare alla base.

48. Nella base BC d’un triangolo isoscele ABC prendasi un punto D; in CA facciasi CE uguale a CD e sia F l’intersezione di ED con AB; dimostrare che il triplo dell’angolo AEF supera di quattro retti l’angolo AFE.

49. Se l’angolo alla base di un triangolo isoscele è la quarta parte dell’angolo al vertice, se dal vertice di quello si tira la perpendicolare alla base sino ad incontrare il lato opposto prolungato, allora la parte prolungata, la perpendicolare ed il lato rimanente formeranno un triangolo equilatero.

50. ABC è un triangolo rettangolo in A, ed avente l’angolo B doppio di C; mostrare che il lato CB è doppio del lato AB.

51. Se si dividono per metà i tre angoli di un triangolo, ed una delle bisettrici sia prolungata a segare il lato opposto, l’angolo contenuto da questa retta prolungata e da una delle altre due bisettrici è uguale all’angolo contenuto dalla terza bisettrice e dalla perpendicolare calata dal loro punto comune sul lato suddetto.

52. Un quadrilatero nel quale i lati opposti o gli angoli opposti siano uguali è un parallelogrammo.

53. La figura formata da quattro punti presi rispettivamente nei quattro lati di un quadrato dato a distanze uguali dai quattro vertici, è un altro quadrato.

54. Siano AD, AE i quadrati costruiti sui cateti del triangolo rettangolo ABC, conducansi DF, ES perpendicolari sull’ipotenusa prolungata; allora BC è uguale alla somma di DF, EG, ed il triangolo ABC è uguale alla somma dei triangoli DBF ed ECG.

55. Se si dividono per metà due lati opposti, di un [p. 58 modifica]parallelogrammo, le rette tirate dai punti di divisione ai vertici opposti dividono la diagonale in tre parti uguali.

56. Data la perpendicolare dal vertice alla base, e data la differenza fra ciascuno lato ed il segmento adiacente alla base, costruire il triangolo.

57. Le rette che dividono per metà gli angoli di un parallelogrammo formano un. parallelogrammo rettangolo, le cui diagonali sono parallele ai lati del parallelogrammo dato.

58. AD, BC sono due rette parallele segate obliquamente da AB e perpendicolarmente da AC; BED è una retta condotta a segare AC in E in modo che ED sia doppia di AB; dimostrare che l’angolo ABC è triplo dell’angolo DBC.

59. Adattare in un angolo dato una retta uguale ad una data e parallela ad un’altra data.

60. Ciascuna retta che passa pel punto comune alle diagonali di un parallelogrammo e terminata a due lati opposti è ivi divisa per metà, e divide anche il parallelogrammo in due parti uguali.

61. Per un punto dato condurre una retta in modo che il segmento di essa compreso fra due date rette parallele sia uguale ad una retta data.

62. In un triangolo rettangolo il punto medio dell’ipotenusa è ugualmente distante dai tre vertici.

63. In un triangolo qualunque ABC, se BE, CF sono perpendicolari ad una retta tirata in modo qualunque per A, e se D è il punto di mezzo di BC, dimostrare che DE=DF.

64. Se dal vertice dell’angolo retto di un triangolo rettangolo si tirano due rette, l’una a dividere l’ipotenusa per metà e P altra perpendicolare all’ipotenusa medesima, l’angolo di quelle due rette sarà uguale alla differenza degli angoli acuti del triangolo.

65. Trovare il punto nella base di un triangolo, dal quale tirate le rette parallele ai lati sino ad incontrarli, queste riescano uguali.

66. Un trapezio è la metà di un parallelogrammo compreso fra le stesse parallele, la cui base sia uguale alla somma dei due lati paralleli del trapezio.

67. Sui lati AB, AC di un triangolo descrivansi i parallelogrammi ABDE, ACFG e si prolunghino DE, FG ad incontrarsi in H, la somma di questi parallelogrammi sarà uguale al parallelogrammo contenuto da BC e da una retta uguale e parallela ad AH. [p. 59 modifica]68. Il perimetro di un triangolo isoscele è minore di quello di qualsivoglia altro triangolo uguale descritto sulla stessa base.

69. Di tutti i triangoli descritti sulla stessa base e che tanno lo stesso perimetro, il più grande è l’isoscele.

70. Dato un triangolo ABC ed un punto D in AB, costruire un altro triangolo ADE uguale al dato ed avente lo stesso angolo A.

71. Trasformare un triangolo in un altro uguale, la cui altezza sia data.

72. Trasformare un trapezio in un triangolo uguale, con un angolo comune; e quindi mostrare come si può trasformare un poligono qualunque in un triangolò il cui vertice debba essere in un dato vertice del poligono e la base in uno dei lati.

73. Se si congiungono i punti di mezzo dei lati di un quadrilatero, la figura inscritta è un parallelogrammo uguale alla metà del.quadrilatero dato; dimostrare inoltre che le rette congiungenti i punti di mezzo dei lati opposti si bisecano fra loro.

74. Per D, E punti di mezzo dei lati AB, AC di un triangolo, si tirino DF, EF parallele a BE, AB; mostrare che i lati del triangolo DCF sono uguali alle tre rette condotte dai vertici del triangolo dato ai punti medi dei lati opposti.

75. Dividere per metà un triangolo con una retta condotta da un punto dato in un lato.

76. Se un punto qualunque della diagonale di un parallelogrammo si congiunge ai vertici, il parallelogrammo sarà diviso in due paja di triangoli uguali.

77. Per E, punto di mezzo della diagonale BD di un quadrilatero ABCD, conducasi FEG parallela ad AC; mostrare che AG divide la figura in due parti uguali.

78. Se dei quattro triangoli in cui le diagonali dividono un quadrilatero, due opposti sono uguali, il quadrilatero ha due lati opposti paralleli.

79. Le tre rette (mediane) che congiungono i vertici di un triangolo ai punti medi dei lati opposti, concorrono in un punto e dividono il triangolo in tre parti uguali.

80. Ciascuna mediana del triangolo è divisa nel punto d’intersezione in due parti, una delle quali è doppia dell’altra. [p. 60 modifica]81. Se due lati di un triangolo sono dati, il triangolo è massimo quando contengono un angolo retto.

82. I due triangoli formati dalle rette che uniscono un punto preso ad arbitrio dentro un parallelogrammo ai termini di due lati opposti, valgono insieme la metà del parallelogrammo.

83. Se dai termini di uno dei lati obliqui di un trapezio si tirano due rette al punto medio del lato opposto, il triangolo così formato col primo lato è metà del trapezio.

84. Se dai termini della base di un triangolo isoscele si tirano le rette perpendicolari ai lati, la retta che congiunge il loro punto d’intersezione col vertice bisecherà la base ad angolo retto.

85. Nella figura della prop. 47 (Eucl.), dimostrare che, se si conducono BG e CH, queste rette sono parallele.

86. Nella stessa figura, se DB, EG sono prolungate ad incontrare FG e KH in M, N, i triangoli BFM, CKN sono equiangoli ed uguali al triangolo ABC.

87. Nella stessa figura, se si congiungono GH, KE, FD; ciascuno dei triangoli così formati è uguale al triangolo dato ABC.

88. Nella stessa figura, prolunghinsi FG, KH ad incontrarsi in M e si prolunghi MA a tagliare BC in L; mostrare che ML è perpendicolare a BC. (Le tre rette AL, BK, CF concorrono in uno stesso punto.).

89. Le perpendicolari abbassate dai vertici di un triangolo sui lati opposti concorrono in un punto.

90. Dati due segmenti uguali di due rette date di posizione, trovare un punto che con quelli determini due triangoli uguali in tutte le loro parti.

91. Se O è un punto qualunque nel piano di un parallelogrammo.

ABCD, la somma o la differenza dei triangoli ABO, ADO è uguale al triangolo AGO.

  1. Trapezio è un quadrilatero che ha due lati paralleli e due non paralleli.