Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane (Cremona)/Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe

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Art. 7. Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe

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Art. 7. Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe
Punti e tangenti comuni a due curve Porismi di Chasles e teorema di Carnot

[p. 348 modifica] 33. Se una curva dee passare per un dato punto , ciò equivale manifestamente ad una condizione.

Per conducasi una retta ; se la curva deve contenere anche il punto di che è successivo ad , cioè se la curva deve non solo passare per , ma anche toccare ivi la retta , ciò equivale a due condizioni.

Per conducasi una seconda retta ; se oltre ai due punti consecutivi di , la curva dovesse contenere anche quel punto di che è successivo ad , ciò equivarrebbe a tre condizioni. Ma in tal caso, due rette condotte per segherebbero ivi due volte la curva, cioè sarebbe un punto doppio per questa. Dunque, se la curva dee avere un punto doppio in , ciò equivale a tre condizioni.

Se la curva deve avere in un punto doppio (tre condizioni), una retta qualunque condotta per conterrà due punti di quella, coincidenti in . Se la curva deve passare per un terzo punto successivo di , cioè se questa retta dovrà avere in tre punti comuni colla curva, ciò equivarrà ad una nuova condizione. Se lo stesso si esige per una seconda retta e per una terza (passanti per ), si avranno in tutto sei condizioni. Ma quando per passino tre rette, ciascuna delle quali seghi ivi tre volte la curva, quello è un punto triplo (31); dunque, se la curva dee avere in un punto triplo, ciò equivale a sei condizioni.

In generale: sia il numero delle condizioni, perchè la curva abbia in un punto . Ogni retta condotta per , avrà ivi punti comuni colla curva. [p. 349 modifica]Se questa dee contenere un altro punto successivo di , cioè se la retta deve in avere punti comuni colla curva, ciò equivale ad una nuova condizione. Se la stessa cosa si esige per altre rette passanti per , si avranno in tutto condizioni. Ora, quando per passano rette, ciascuna avente ivi punti comuni colla curva, è un punto multiplo secondo (31); dunque, se la curva deve avere in un punto , ciò equivale ad un numero di condizioni; ossia .

34. Da quante condizioni è determinata una curva d'ordine ? Se la curva debba avere un dato punto multiplo secondo , ciò equivale (33) ad condizioni. Ma una linea d'ordine , dotata di un punto , è il sistema di rette concorrenti in (31); e, affinchè queste siano pienamente individuate, basta che sia dato un altro punto per ciascuna di esse. Dunque:

Il numero delle condizioni che determinano una curva d'ordine è

.1

Se sono date solamente condizioni, vi saranno infinite curve d'ordine che le potranno sodisfare, e fra esse ve ne saranno alcune (siane il numero) che passeranno per un punto qualunque dato. L'intero sistema di quelle curve, in numero infinito, chiamasi serie d'ordine e d'indice .2[48]

Per esempio, le tangenti di una curva della classe formano una serie d'ordine 1 e d'indice .

In generale esiste sempre una linea che inviluppa una serie data <d'indice >, cioè che in ciascun de' suoi punti tocca una curva della serie. <Essa è il luogo dei punti, pei quali due delle curve della serie coincidono.> Tutta la serie si può concepire generata dal movimento continuo di una curva, che vada cambiando di forma e di posizione, in modo però da sodisfare alle condizioni proposte. I punti, in cui una curva della serie sega quella che le succede immediatamente, sono anche i punti di contatto fra la prima di queste curve e la linea inviluppo della serie. [49]

35. Il teorema or ora dimostrato (34) ci mette in grado di stabilire quest'altro: [p. 350 modifica] che una curva semplice dell'ordine non può avere più di punti doppi (comprese le cuspidi). Infatti: se ne avesse uno di più, per questi e per altri punti della stessa curva, in tutto punti, si potrebbe far passare una curva dell'ordine , la quale avrebbe in comune colla linea data

intersezioni: il che è impossibile, se la curva data non è composta di linee d'ordine minore.3

Note

  1. Così, una curva della classe è determinata da condizioni.
  2. Jonquières, Théorèmes généraux concernant les courbes géométriques planes d'un ordre quelconque (Journal de M. Liouville, [2e sèrie, t. 6] avril 1861, p. 113).
  3. Plücker, loco citato, p. 215.