Lezioni di analisi matematica/Capitolo 1/Paragrafo 2

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Numeri irrazionali

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§ 2 — Numeri irrazionali.

Come è ben noto, le precedenti considerazioni e i precedenti risultati sono stati estesi anche ai segmenti N incommensurabili con M (per esempio alla diagonale del quadrato, il cui lato è M). Anche per tali segmenti si è definita la misura che è un numero che ancora gode delle proprietà testè enunciate.

Se N è un tale segmento, si sottragga da N il massimo numero possibile p di volte il metro M [cioè pM < N < (p + 1)M]. Dal segmento residuo N1 si sottragga il massimo numero possibile n1 di volte la decima parte di M. Dal segmento residuo N2 si sottragga il massimo numero n2 di volte la centesima parte di M e così via.


[p. 7 modifica]Il simbolo p, n1n2n3..... ottenuto scrivendo dopo l'intero p le cifre n1, n2, n3, ..... si chiama numero irrazionale, e si assume come misura di N. Esso è un numero decimale illimitato non periodico (perchè altrimenti N sarebbe commensurabile con M).

Ogni segmento N determina così la sua misura; segmento uguali hanno misure uguali.

Viceversa due segmenti aventi misure uguali sono uguali.

Infatti, se n è un intero qualsiasi, i due segmenti contengono lo stesso numero di volte la (10n)esima parte di M (cioè il segmento б ottenuto dividendo M in 10n parti uguali). La differenza δ dei due segmenti dati non può perciò superare б; e ciò, qualunque sia n. Ma, se δ non è zero, io posso prendere n così grande che б < δ 1. Ciò che contraddirebbe al già dimostrato. Quindi δ = 0, e i due segmenti sono uguali.

Il postulato della continuità della retta ci assicura poi che:

Ogni numero decimale limitato o no è misura di un segmento N (e soltanto dei segmenti uguali a questo):

Vi è dunque una corrispondenza biunivoca tra i segmenti N di una retta ed i numeri razionali o no (quando segmenti uguali si considerino come non distinti).

Tutti i numeri fin qui definiti diconsi positivi.

Di due numeri (razionali o irrazionali) positivi disuguali si naturalmente maggiore quello che misura segmento maggiore. È facile trasformare questa definizione. Se, per semplicità, escludiamo i numeri le cui cifre decimali sono da un certo punto in poi tutte uguali a nove, sostituendoli con altri, le cui cifre decimali sono da un certo punto in poi tutte uguali a zero, troviamo, come è ben noto:

Il numero p è maggiore del numero q se

  1. la parte intera di p supera la parte intera di q oppure se
  2. le parti intere di p, q sono uguali, ma la prima cifra decimale di p supera l'omologa di q oppure, se
  3. le parti intere di p, q sono uguali fino alle nesima cifra decimale, ma la (n + 1)esima cifra decimale di p supera l'omologa di q.

Non insistiamo sulle altre ben note proprietà delle disuguaglianze.

Secondo le nostre convenzioni, il numero non è che un simbolo per indicare il rapporto di due grandezze di una stessa classe di grandezze (per cui si può porre il problema della misura). Cosicchè al numero e all'algebra dei numeri potremmo
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in fondo sostituire il concetto di un tale rapporto e l'algebra dei rapporti. E come simbolo per indicare un rapporto, per esempio, delle lunghezze di due segmenti potremmo addirittura assumere una figura composta con due segmenti uguali ai segmenti dati.

Ognuno capisce quanto ciò sarebbe incomodo: e lo studio dei rapporti, così come ha svolto Euclide, indica già quanta complicazione ne verrenne alla teoria.

Ma non è detto che i simboli da noi introdotti sieno gli unici possibili. Che si possano mutare è ben evidente. Basta, per esempio, pensare che nel nostro sistema (decimale) di numerazione il numero 10 (il numero della dita delle due mani) ha un posto preponderante. Se noi gli sostituissimo un altro numero (è stato già proposto il numero 12) come base del sistema di scrittura dei numeri, sarebbe già cambiato il nostro simbolismo).

Osservazione critica. — Il presente modo di esporre la teoria dei numeri irrazionali, per quanto molto semplice sotto molti riguardi, ha però l'inconveniente che la definizione pare dipenda appunto dal numero 10 scelto a base del nostro sistema di numerazione. Bisognerebbe perciò definire l'uguaglianza di due numeri (che avessero anche infinite cifre dopo la virgola) scritti in due differenti sistemi di numerazione: ciò che del resto non presenterebbe alcuna difficoltà. Se per esempio si ammettesse di ricorrere alla misura dei segmenti, due tali numeri di direbbero uguali, quando sono misura di segmenti uguali. E sarebbe anche molto facile trasformare questa proprietà in una proprietà equivalente di carattere puramente aritmetico.


§ 3 — Limite superiore e inferiore.
Operazioni sui numeri positivi.

α) Sia G una classe di numeri n positivi. Cerchiamo, se esiste, il più grande di questi numeri, che noi indicheremo con N. Evidentemente la parte intera di N dovrebbe essere la più grande delle parti intere dei numeri n. Distinguiamo due casi:

A) Tra le parti intere dei numeri n non ve n'è alcuna che sia più grande di tutte le altre; cioè, preso ad arbitrio un intero K, esiste almeno un numero n di G, la cui parte intera è uguale o maggiore di K. In tal caso diremo che è il limite superiore dei numeri n di G; frase che è soltanto un modo di dire e che non vuole introdurre affatto l'infinito come nuovo ente o numero. Si suole anche dire che è maggiore di ogni numero (frase che anch'essa è soltanto un modo di dire). In questo caso A la classe G non contiene un numero massimo (maggiore di tutti gli altri). Esempi di questo tipo sono le classi di tutti gli interi, o di tutti gli interi pari.
B) Tra le parti intere dei numeri n di G ve ne è una massima; esiste cioè un intero m, tale che almeno un numero n di G abbia m come parte intera, ma nessun numero di G abbia parte intera maggiore di m. In questo caso sia m1 la massima prima cifra decimale di quei numeri di G, che hanno m come parte intera; sia m2 la massima seconda cifra decimale di quei numeri di G, che hanno m per parte intera ed m1 per

  1. E ciò in virtù del postulato di Archimede