Lezioni di analisi matematica/Capitolo 1/Paragrafo 3

by Guido Fubini

Limite superiore e inferiore. Operazioni sui numeri positivi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Limite superiore e inferiore. Operazioni sui numeri positivi

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§ 3 — Limite superiore e inferiore.
Operazioni sui numeri positivi.

$\alpha$) Sia G una classe di numeri $n$ positivi. Cerchiamo, se esiste, il più grande di questi numeri, che noi indicheremo con $N$. Evidentemente la parte intera di $N$ dovrebbe essere la più grande delle parti intere dei numeri $n$. Distinguiamo due casi:

A) Tra le parti intere dei numeri $n$ non ve n’è alcuna che sia più grande di tutte le altre; cioè, preso ad arbitrio un intero $K$, esiste almeno un numero $n$ di $G$, la cui parte intera è uguale o maggiore di $K$. In tal caso diremo che $+\infty$ è il limite superiore dei numeri $n$ di $G$; frase che è soltanto un modo di dire e che non vuole introdurre affatto l’infinito come nuovo ente o numero. Si suole anche dire che $+\infty$ è maggiore di ogni numero (frase che anch’essa è soltanto un modo di dire). In questo caso A la classe $G$ non contiene un numero massimo (maggiore di tutti gli altri). Esempi di questo tipo sono le classi di tutti gli interi, o di tutti gli interi pari.

    B) Tra le parti intere dei numeri $n$ di $G$ ve ne è una massima; esiste cioè un intero $m$, tale che almeno un numero $n$ di $G$ abbia $m$ come parte intera, ma nessun numero di $G$ abbia parte intera maggiore di $m$. In questo caso sia $m_{1}$ la massima prima cifra decimale di quei numeri di $G$, che hanno $m$ come parte intera; sia $m_{2}$ la massima seconda cifra decimale di quei numeri di $G$, che hanno $m$ per parte intera ed $m_{1}$ per prima cifra decimale; sia $m_{3}$ la massima terza cifra decimale di quei numeri di $G$, che hanno $m$ per parte intera ed $m_{1}$, $m_{2}$ rispettivamente come prima e seconda cifra decimale. E così via. Noi chiameremo limite superiore dei numeri di $G$ il numero $L=m,m_{1}\;m_{2}\;m_{3}.....$, che si ottiene scrivendo dopo $m$ le successive cifre decimali $m_{1}$, $m_{2}$, $m_{3}$, ..... Evidentemente il numero cercato $N$ coincide, se esiste, con questo numero $L$.

B₁) Può avvenire che la classe $G$ contenga tra i suoi numeri il numero $L$. Ciò avviene evidentemente, per esempio, se la classe G contiene un numero finito di numeri n. In tal caso $L$ è proprio il massimo numero di $G$, che noi cercavamo.

B₂) Può invece avvenire che il numero $L$ non appartenga alla classe $G$. Ciò avviene, per esempio, se $G$ è la classe dei numeri minori di 2; in tal caso $L=1,9999.....=2$, che non appartiene a $G$. In tal caso di nuovo la classe $G$ non possiede un numero massimo (questo, se esistesse, coinciderebbe con $L$, che viceversa non è un numero di $G$, mentre invece $N$ dovrebbe essere un numero di $G$).

Una classe $G$ di numeri possiede in ogni caso un limite superiore $L$. Se questo appartiene alla classe $G$, esso è anche il massimo numero di $G$. Se esso non appartiene a $G$, la classe $G$ non contiene un numero massimo. Se $L$ non è $+\infty$, allora $L$ è il minimo numero, che non sia superato da alcun numero di $G$; se </math>k</math> è un intero qualsiasi, esiste in $G$ almeno un numero che coincide col limite superiore $L$ fino alla $k^{\text{esima}}$ cifra decimale inclusa ¹

Perciò sono possibili tre soli casi:

1°) Non vi è alcun numero maggiore di tutti i numeri di $G$ (ossia $L=+\infty$);

2°) Tra i numeri di $G$ ve n'è uno $L$ massimo ($L$ è finito ed appartiene a $G$);

3°) Tra i numeri positivi maggiori di ogni numero di $G$ ve n'è uno $L$ minimo ($L$ è finito e non appartiene a $G$).

Un numero decimale illimitato $N$ è il limite superiore dei numeri decimali limitati, che se ne deducono trascurando le cifre decimali da un certo punto in poi. Così, per esempio, 0,3333..... è il limite superiore dei numeri 0,3; 0,33; 0,333; eccetera.

Se ogni numero $m$ della classe $G$ soddisfa alla $m<k$, oppure alla $m\leq k$, oppure alla $m>k$, oppure alla $m\geq k$ (dove $k$ è un numero prefissato), allora il limite superiore $L$ soddisferà rispettivamente nei primi due casi alla $L\leq k$, nel terzo alla $L>k$, nel quarto alla $L\geq k$. Notiamo in particolare che alla disuguaglianza $m<k$ per i numeri $m$ di $G$ corrisponde per il limite superiore $L$ la disuguaglianza attenuata $L\leq k$.

$\beta$) Se nelle precedenti considerazioni, anzichè scegliere la massima parte intera, e successivamente le massime cifre decimali, avessimo scelto la minima parte intera, e successivamente le minime cifre decimali, avremmo definito il limite inferiore $l$ di $G$.

Nessun numero di G è minore del limite inferiore l, il quale è il più grande dei numeri che non superano alcun numero di G. Se tra i numeri di G ve ne è uno minimo, e soltanto in tale caso, il numero l appartiene a G , e coincide allora con tale numero minimo. Se k è un intero arbitrario, vi è in G almeno un numero uguale ad l almeno fino alla ${\text{k}}^{\text{esima}}$ cifra decimale. Se i numeri m di G soddisfano alla m > h, allora l ≥ h; eccetera eccetera.

Nei casi 2° e 3° del precedente teorema L (che è finito) è anche il limite inferiore della classe G´ formata dai numeri positivi maggiori di ogni numero di G. Il numero L o è il massimo dei numeri di G, perchè appartiene a G, oppure è il minimo dei numeri di G, perchè appartiene a G´.

$\gamma$) La somma di due o più numeri positivi n, m, ... è il limite superiore della classe dei numeri (razionali) ottenuta sommando i numeri decimali limitati dedotti da n, m, ... tenendo conto soltanto di un numero finito di cifre decimali.

Questa definizione è la più naturale estensione del teorema: La somma di due o più numeri decimali limitati n, m, ... è maggiore del numero ottenuto sommando quei numeri che si deducono da n, m, ..., trascurando le cifre decimali a partire da un certo posto in poi.

È ben noto che da questa definizione si deduce: Se il segmento N è somma di più segmenti ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$, ..., la misura di N è eguale alla domma delle misure dei segmenti ${\text{N}}_{1}$, ${\text{N}}_{2}$, ...

Sono ben note le seguenti proprietà dell'addizione:

$n+m=m+n$	(proprietà commutativa)
$n+(m+p)=n+m+p$	(proprietà associativa).

In modo perfettamente analogo si definisce il prodotto² di due o più numeri positivi; e si dimostrano poi le seguenti proprietà fondamentali della moltiplicazione:

$n\;m=m\;n$	(proprietà commutativa)
$n\;m\;p=n(m\;p)$	(proprietà associativa)
$n(m+p)=n(m+p)$	(proprietà distributiva)

La differenza [quoziente] di due numeri $n$, $m$ si definisce poi come quel numero $n-m$ [quel numero $\textstyle {\frac {n}{m}}$] che sommato con $m$ [moltiplicato per $m$] riproduce il numero $n$.

Esistono regole di calcolo numerico per eseguire nel modo più rapido, ed evitando calcoli inutili, le operazioni elementari dell'aritmetica sui numeri decimali limitati od illimitati, quando sia prefissata l'approssimazione, che si esige dal risultato finale.

Queste regole possono essere assai utili per chi abbia da eseguire calcoli numerici. E il loro studio, di cui qui non ci possiamo occupare, perchè estraneo all'argomento di questo corso, è perciò assai raccomandabile per ogni calcolatore.

Restando nell'ambito dei numeri positivi o nulli, si può parlare della differenza $n-m$, soltanto se $n\geq m$.

Non si può parlare del quoziente $\textstyle {\frac {n}{m}}$ se $m=0$.

Con $x^{\text{n}}$, se $x$ è un numero positivo, ed $n>1$ è un intero positivo, si indica il prodotto di $n$ fattori uguali ad $x$. E si pone poi $x^{1}=x$; e, se $x\neq 0$, $x^{0}=1$. Il simbolo $0^{0}$ si considera privo di significato.

Se $n>1$ è un intero positivo, con ${\sqrt[{n}]{x}}$ si indica il numero $y$ tale che $y^{n}=x$³. Se $x$ aumenta, aumenta tanto la ${\sqrt[{n}]{x}}$ quanto la $x^{n}$. Se $m$, $n$ sono interi positivi ed $n>1$, con $x^{\frac {m}{n}}$ si intende la ${\sqrt[{n}]{x^{m}}}$. Se poi $p$ è un numero positivo qualsiasi, con $x^{p}$ si intende il limite superiore delle potenze $x^{q}$, quando $q$ sia uno dei numeri ottenuti da $p$, tenendo conto soltanto di un numero finito di cifre decimali (dell'esponente $p$).

È noto che, se $p$, $q$ sono numeri positivi o nulli arbitrari, allora:

$x^{p}\;x^{q}=x^{p+q}$.

Note

1. Si dimostra che il limite superiore non varia, se si cambia il numero assunto come base del sistema di numerazione, servendosi delle proprietà qui enunciate per $L$.
2. Ricordo che, se $m$, $n$ sono le misure della base ed altezza di un rettangolo, il prodotto $m\;n$ è la misura dell'area del rettangolo, quando come unità di misura delle aree si scelga il quadrato, il cui lato è l'unità $M$ di misura delle lunghezze.
3. Si può dimostrare l'esistenza di $y$, definendo $y$ come il limite superiore della classe formata da quei numeri $z$, che soddisfano alla $z^{n}\leq x$.