Lezioni di analisi matematica/Capitolo 1/Paragrafo 4

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Numeri reali

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§ 4. — Numeri reali.

Insieme ai numeri positivi l’algebra considera, come è noto, anche i numeri negativi; i quali con le seguenti convenzioni, trovano pure applicazione nel problema della misura dei segmenti.

α) Una retta r si dice orientata, se è fissato su di essa un verso che si assume come positivo (nella figura e in quanto segue da sinistra a destra). Un segmento orientato di tale retta AB si ritiene percorso nel verso dal punto A al punto B, e si ritengono distinti i segmenti (orientati) AB, BA i cui versi sono opposti.

Misura algebrica di un segmento AB di r è il rapporto di tale segmento al segmento unitario, preso col segno + o col segno — , secondo che il verso del segmento (il verso da A a B) coincide col verso positivo o col verso negativo di r. E se noi indichiamo con uno stesso simbolo un segmento e la sua misura, e per convenzione poniamo in generale a = — (— a), avremo AB = — BA, AB + BA = 0. Cioè:

La misura di un segmento cambia di segno se ne invertiamo gli estremi.

I numeri razionali o irrazionali, positivi o negativi, fin qui definiti, hanno ricevuto complessivamente il nome di numeri reali. Se a è un numero reale, con |a| ne indichiamo il valore assoluto; indichiamo cioè con |a| lo stesso numero a, se a è positivo e il numero a cambiato di segno, se a è negativo.

β) Due segmenti orientati si diranno uguali, se hanno lo stesso verso e sono uguali dal punto di vista della geometria elementare: ossia se hanno misure uguali e dello stesso segno.

Due numeri si diranno uguali se hanno uguale segno e uguale valore assoluto. I numeri negativi si considerano minori di zero e dei numeri positivi. Di due numeri negativi si considera maggiore quello che è minore in valore assoluto.

Siano dati i segmenti c, d; preso un punto qualsiasi A di r, si consideri il segmento AB uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a c, e quindi il segmento BC uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a d. Il segmento AC (ed ogni segmento ad esso uguale) si dirà somma dei segmenti c, d. Questa definizione coincide evidentemente con la solita, quando i segmenti, c, d sono entrambi positivi. [p. 13 modifica]Diremo poi somma di due numeri x, y il numero che misura il segmento somma dei due segmenti che hanno per misura x oppure y.

Si riconosce facilmente che:

Il segno della somma di due numeri è uguale al segno dell'addendo, il cui valore assoluto è più grande.

Il valore assoluto della somma di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei valori assoluti dei due addendi, secondo che questi hanno 0 non hanno lo stesso segno.

Queste proprietà potrebbero servire alla definizione puramente analitica della somma di due numeri.

Si estendono facilmente queste definizioni alla somma di più numeri, e si dimostrano le solite regole del calcolo algebrico.

Se A, B, C, sono tre punti qualsiasi di r, è per definizione: AB + BC = AC = — CA, ossia AB + BC + CA = 0.

Così se A1, A2, A3, A4 sono punti qualsiasi di r, è:

A1A2 + A2A3 = A1A3; A1A3 + A3A4 = A4A1 = 0


donde: A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A1 = 0.

Più in generale, se A1 A2....., An sono punti qualsiasi di r, è A1A2 + A2A3 + ..... An - 1An + AnA1 = 0.

E questa formola vale anche se i punti A non sono tutti distinti.

γ) Si definisce poi il prodotto di due o più numeri reali (fattori) quel numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei fattori, e il segno + o il segno — secondo che vi è numero pari o dispari di fattori negativi.

Si definiscono poi la sottrazione e la divisione come le operazioni inverse de11’addizione e della moltiplicazione, estendendo quindi le solite regole del calcolo algebrico.

Un numero a è minore o maggiore di un altro numero b, secondochè ab è negativo o positivo.

δ) È poi evidente che se a, b sono numeri reali qualsiasi

|a ± b| ≤ |a| + |b|
|a ± b| ≥ |a| — |b|
|a ± b| ≥ |b| — |a|
|a · b| = |a| · |b|.

Se b ≠ 0, allora |a/b| = |a|/|b|.

[p. 14 modifica]ε) Se G è una classe di numeri negativi — m, e se L, l, sono i limiti superiore e inferiore dei numeri m, allora — L e — l si dicono rispettivamente il limite inferiore e superiore dei numeri di G. Queste definizioni appariranno spontanee a chi pensi che (secondo le proprietà da noi ricordate) di due numeri negativi si considera come minore quello che è maggiore in valore assoluto.

Se G è una classe che contiene sia numeri positivi p, sia numeri negativi n, si dirà limite superiore (inferiore) di G il limite superiore (inferiore) dei numeri positivi p (negativi n) che appartengono a G.

Anche in questo caso generale si può ripetere quanto per tali limiti si disse al § 3.

ζ) Se G, Γ sono due classi di numeri reali tali che il limite λ inferiore di G coincida con il limite superiore di Γ, noi diciamo che le classi G, Γ sono contigue, che G è la classe superiore e che λ è il numero di separazione delle due classi. In tal caso nessun numero di G può essere inferiore ad alcun numero di Γ; e, preso un intero positivo k arbitrario, esiste tanto in G che in Γ almeno un numero che coincide con λ fino alla kesima decimale. I due numeri così scelti in G e in Γ differiranno al più per 2/10k.

Viceversa, se nessun numero della classe G è inferiore ad un numero della classe Γ, e se per ogni numero intero positivo k esistono un numero di G e un numero di Γ, la cui differenza non supera 2/10k, è ben evidente che le classi G, Γ sono contigue, e che G è la classe superiore.

η) La teoria delle potenze e delle radici rapidamente riassunta al § 3 si estende con qualche modificazione ai numeri negativi. Così, se x è negativo, ed n intero positivo, la xn è positiva se n è pari, negativa se n è dispari. Se ne deduce che, se n è pari ed x è negativo, il simbolo si deve considerare come sprovvisto di significato nell’attuale campo dei numeri reali.

E se, pure essendo n pari, la x è positiva, il simbolo ha un doppio significato. Perché se y è un numero positivo tale che yn = x, cosicché y = , anche — y soddisfa alla analoga uguaglianza (— y)n = x, cosicché anche — y si può [p. 15 modifica]considerare come radice nesima della x. Salvo però avvertenza contraria, col simbolo indicheremo sempre la radice positiva.

Se n è dispari, ha sempre uno e uno solo significato.

Secondo tali convenzioni non si parlerà mai di una potenza xm/n, quando x è negativo, e dei due numeri interi m, n il secondo è pari. Nè parleremo mai di una potenza xp se x è negativo, p è irrazionale.

Se n è un numero negativo, poniamo xn = 1/x— n.

Vale anche nel caso attuale la formola

xp xq = xp+q

in tutti i casi in cui i simboli xp, xq hanno un significato.

θ) Se tre numeri a, x, y sono legati dalla ax = y, noi diremo che x è il logaritmo di y in base a, e scriveremo x = loga y. La base a si suppone positiva e quasi sempre maggiore di 1 (anzi assai spesso uguale a 10). Si dimostra:

1° Ogni numero positivo y≠ 0 ha un logaritmo e uno solo, che è uguale a zero per y = 1, è uguale ad 1 per y = a, e che cresce (se a > 1) al crescere di y. I numeri negativi non hanno logaritmo.

2° Se b ≠ 1, allora loga y = loga b logb y.

3° Loga (y1y2) = loga y1 + loga y2

loga = loga y1 — loga y2; loga (y1m) = m loga y1.