Lezioni di analisi matematica/Capitolo 17/Paragrafo 108 bis

by Guido Fubini

Capitolo 17 - Integrali superficiali in coordinate generali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 108 bis — Integrali superficiali in coordinate generali.

I risultati di questo paragrafo saranno dimostrati più avanti in modo semplice benchè diretto. Noi qui faremo invece delle ipotesi analoghe a quelle fatte ai §§ 103 e seg. che del resto sarebbe facile giustificare in modo diretto.

I risultati a cui giungeremo, si debbono riguardare come l'estensione del metodo di integrazione in coordinate polari a coordinate qualsiasi. Useremo, p. es., i metodi intuitivi del § 108.

Sia $I$ un'area del piano $xy$; e siano <math<X, Y</math> due variabili: $X=X(x,y),Y=Y(x,y)$ funzioni delle $x,y$ in $I$.

Viceversa le $x,y$ si possano considerare come funzioni $x(X,Y)$ ed $y(X,Y)$ delle $X,Y$, così che un punto di $I$ si possa determinare tanto dando i corrispondendi valori delle $x,y$, quanto quelli delle X, Y</math>.

Dividiamo $I$ con linee $X={\text{cost.}},Y={\text{cost.}}$, indicando con $dX,dY$ gli incrementi che subisce la $X$ o la $Y$ per passare da una tale linea alla successiva; sostituiamo poi a quelli dei quadrangoli curvilinei tutti interni a $I$ limitati da due linee consecutive $X={\text{cost.}}$, e $Y={\text{cost,}}$ il quadrangolo rettilineo $Q$ che ha gli stessi vertici. L'area $I$ sarà così divisa in

$\alpha$) quadrangoli $Q$ rettilinei tutti interni a $I$,

ed in

$\beta$) poligoni $P$ curvilinei parte del contorno dei quali appartiene al contorno di $I$.

Noi ammetteremo:

1° Il contributo portato alle nostre somme da questi ultimi poligoni $P$ tende a zero, quando i $dX,dY$ tendono contemporaneamente a zero.

2° Per calcolare i limiti che incontreremo (quando i $dX,dY$ tendono contemporaneamente a zero) si possono far tendere a zero prima i $dX$, poi i $dY$ o viceversa.

Uno dei quadrangoli rettilinei $Q$ ha i vertici posti sulle intersezioni di una linea $X={\text{cost.}}$ e $X+dX={\text{cost.}}$ con due linee $Y={\text{cost.}}$ e $Y+dY={\text{cost.}}$. I suoi vertici $A,B,C,D$ saranno perciò i punti

               $A=[x(X,Y),y(X,Y)]$;}}

               $B=[x(X+dX,Y),y(X+dX,Y)]$;

               $C=[x(X,Y+dY),y(X,Y+dY)]$;

               $D=[x(X+dX,Y+dY),y(X+dX,Y+dY)]$.

E la sua area sarà la somma delle aree dei traingoli $ABC,BCD$¹. L'area del 1° vale (per nota formola di geometria analitica) il valore assoluto di

${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x(X,Y)&y(X,Y)&1\\x(X+dX,Y)&y(X+dX,Y)&1\\x(X,Y+dX)&y(X,Y+dY)&1\end{vmatrix}}$

Supposto che le $x,y$ abbiano derivate prime e seconde finite e continue², e ricordando la formola di Taylor

$x(X+dX,Y)=x(X,Y)+x'_{N}(X,Y)dX+{\frac {1}{2}}{x''}_{NN}(X+\theta dX,Y)dX^{2}(0<\theta <1)$.

ed analoghe, si trova che tale area vale il valore assoluto di

${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x'_{N}(X,Y)&x'_{Y}(X,Y)\\x'_{N}(X,Y)&y'_{Y}(X,Y)\end{vmatrix}}dX\,dY+{\frac {\alpha }{2}}\,dX\,dY$

dove $\alpha$ è una quantità che (se con $K$ indichiamo una costante positiva maggiore in valore assoluto di tutti i valori delle derivate prime e seconde delle $x,y$) soddisfa alla

$|\alpha |<K^{2}(dX+dY+dXdY)$.

Altrettanto trovasi per il triangolo <math<BCD</math>. Cosicchè l'area del quadrangolo rettilineo $ABCD$ vale il valore assoluto di

$\left({\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}+\beta \right)dX\,dY$,

dove con ${\frac {d(x,y=}{d(X,Y)}}$ indico il valore in $A$ del cosiddetto Jacobiano

${\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial X}}&{\frac {\partial y}{\partial X}}\\{\frac {\partial x}{\partial Y}}&{\frac {\partial y}{\partial Y}}\end{vmatrix}}$

e con $\beta$ indico una quantità soddisfacente alla

                                                  $|\beta |<K^{2}(dX+dY+dXdY)$.                              (1)

Moltiplicando tale area per una valore $F$, che la funzione $F(x,y)$ assume in tale quadrangolo, e sommando tutti i prodotti così ottenuti, si trova

$\Sigma \,F\,\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|dXdY+\Sigma \,\beta \,F\,dX\,dY$.

In virtù della (1) e con metodi analoghi a quelli dell'osserv. del § 108 si trova che il secondo addendo tende a zero, e che (cfr. § 103):

L'integrale $\mathrm {\int Fd\tau }$ è uguale a

$\int dY\int F\ \left|frac{d(x,y)}{d(X,Y)}\right|dX=\int dX\int F\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|dY$.

Se $X=\rho ,Y=\theta ,x=\rho \,{\text{cos}}\,\theta ,y=\rho \,{\text{sen}}\,\theta$, allora

$\left|{\frac {d(x,y)}{d(X,Y)}}\right|=\rho$.

E si ritorna alla formola del precedente § 108.

Oss. Se noi consideriamo $X,Y$ come coordinate cartesiane ortogonali in un altro piano $P$, e indichiamo con $H$ la regione di $P$ che è luogo dei punti corrispondenti ai punti di $I$, se $\tau$ e $k$ indicano al solito le aree di due pezzi corrispondenti di $I$ e di $H$, allora il valore assoluto del precedente Jacobiano vale naturalmente la derivata ${\frac {d\tau }{dk}}$. Dimostrando direttamente questa proposizione, si avrebbe un'altra dimostrazione dei risultati di questo §.

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Note

1. Suppongo per semplicità che $A$ e $D$ sieno da bando opposte della retta $BC$. Come abbiamo già detto, una dimostrazione completa sarà data più tardi.
2. Queste concezioni si potrebbero rendere meno restrittive.