Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 14

by Guido Fubini

Capitolo 4 - Relazioni tra coefficienti e radici di un'equazione algebrica

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 14. — Relazioni tra coefficienti e radici di un’equazione algebrica.

$\alpha )$ Dedurremo più tardi dalla teorie delle funzioni continue in più variabili il teorema fondamentale dell’algebra (teorema di Gauss).

Ogni polinomio $\mathrm {P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}}$ di grado n nella x è decomponibile in uno e in un solo modo nel prodotto di $\mathrm {a_{0}}$ e di n fattori di primo grado $\mathrm {x-\alpha _{1},x-\alpha _{2},\ldots x-\alpha _{n}}$ dove le $\alpha$ sono numeri distinti o no, reali o complessi.

$P(x)$	$=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=$
	$=a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{n})$.	(1)

[Ricordo che, dicendo che $P(x)$ è di grado $n$, si è detto anche che $a_{0}\not =0$].

Questa decomposizione in fattori ha qualche analogia con la decomposizione di un numero intero in fattori primi. Nell’algebra dei polinomii, che noi studiamo, i polinomii di primo grado hanno così un ufficio analogo a quello che i numeri primi hanno nell’aritmetica dei numeri interi.

Gli n numeri $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}$¹ sono tutte e solo le radici dell’equazione $\mathrm {P(x)=0}$ (perchè $P(x)$ può essere nullo soltanto se uno dei fattori $x-\alpha$ è nullo).

Ciò che rende intuitivo il teorema del Ruffini relativo al caso in cui il polinomio $P(x)$ è divisibile per un binomio $x-\alpha$.

Le formole del § 11 (pagina 44) ci dicono allora che:

La somma delle radici $\alpha$ vale $\mathrm {\frac {a_{1}}{a_{0}}}$.

La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando a due a due le radici $\alpha$ vale $\mathrm {\frac {a_{2}}{a_{0}}}$.

La somma dei prodotti ottenuti moltiplicando ad h ad h (se $h\geq n$) le radici $\alpha$ vale $\mathrm {(-1)^{h}{\frac {a_{h}}{a_{0}}}}$.

Il prodotto delle n radici $\alpha$ vale $\mathrm {(-1)^{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}}$.

Questi teoremi sono la generalizzazione di quelli ricordati nel § 10 per le equazioni di secondo e terzo grado.

$\beta )$ Dal teorema sopra enunciato si deduce anche che, se $P(x)$ è un polinomio di (apparente) grado $n$, e se l’equazione $P(x)=0$ ammette più di $n$ radici, allora $P(x)$ è identicamente nullo, e ogni numero della radice della $\mathrm {P(x)=0}$ (in altre parole tutti i coefficienti di $\mathrm {P(x)}$ sono nulli).

Se due polinomi $P(x)$, $Q(x)$ sono uguali per tutti i valori della $x$, allora l’equazione $P(x)-Q(x)=0$ ammette infinite radici (perchè ogni numero ne è radice). Quindi il polinomio $P(x)-Q(x)$ ha nulli tutti i suoi coefficienti; cioè il grado di $\mathrm {P(x)}$ è uguale al grado di $\mathrm {Q(x)}$; ed ogni potenza della $x$ ha coefficienti uguali in $P(x)$ e in $Q(x)$: in una parola i polinomii $P(x)$, $Q(x)$ sono identicamente uguali.

Più precisamente due polinomii $P_{1}(x)$, $P_{2}(x)$ di grado $n-1$ sono uguali identicamente, se assumono gli stessi valori in $n$ punti distinti $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$. Cioè è completamente determinato un polinomio $P(x)$ di grado $n-1$, quando sieno dati i valori $P(a_{1}),P(a_{2}),\ldots ,P(a_{n})$, che esso assume in $n$ punti distinti $a_{1},a_{2},\ldots a_{n}$. Ed è facile intuire e verificare che un tale polinomio è dato che dalla

$P(x)$	$=P(a_{1}){\frac {(x-a_{2})(x-a_{3})\ldots (x-a_{n})}{(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})\ldots (a_{1}-a_{n})}}+$
	$+P(a_{2}){\frac {(x-a_{1})(x-a_{3})\ldots (x-a_{n})}{(a_{2}-a_{1})(a_{2}-a_{3})\ldots (a_{2}-a_{n})}}+$
	$+..........+$
	$+P(a_{n}){\frac {(x-a_{1})(x-a_{2})\ldots (x-a_{n-1})}{(a_{n}-a_{1})(a_{n}-a_{2})\ldots (a_{n}-a_{a_{n}-1})}}=$
$=\sum _{=1}^{n}P(a_{i}){\frac {(x-a_{1})(x-a_{2})\ldots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})(x-a_{i+2})\ldots (x-a_{n})}{(a_{i}-a_{1})(a_{i}-a_{2})\ldots (a_{i}-a_{i-1})(a_{i}-a_{i+1})(a_{i}-a_{i+2})\ldots (a_{i}-a_{n})}}$.

$\gamma )$ Alle formole di § 14, $\alpha$, possiamo dare un altro aspetto notevole (Newton). Se noi nel secondo e terzo membro di (1) poniamo $x+h$ al posto della $x$, i coefficienti di $h$ nelle espressioni che se ne deducono saranno uguali. Si trova così con facile calcolo che:

$na_{o}x^{n-1}+(n-1)a_{1}x^{n-2}+\ldots +a_{n-1}=$
$=a_{0}(x-\alpha _{2})(x-\alpha _{3})\ldots (x-\alpha _{n-1})(x-\alpha _{n})+$
$+a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{3})\ldots (x-\alpha _{n-1})(x-\alpha _{n})+$
$+................$
$a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{n-2})(x-\alpha _{n})+$
$a_{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{n-2})(x-\alpha _{n-1})=$
$={\frac {P(x)}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {P(x)}{x-\alpha _{2}}}+\ldots +{\frac {P(x)}{x-\alpha _{n}}}$.	(2)

Se noi calcoliano i quozienti dell’ultimo membro di (2) con le regole del § 13 troviamo:

$na_{0}x^{n-1}+(n-1)a_{1}x^{n-2}+\ldots +2a_{n-2}x+a_{n-1}=$

$=a_{0}x^{n-1}+(a_{0}\alpha _{1}+a_{1})x^{n-2}+(a_{0}\alpha _{1}^{2}a_{1}\alpha _{1}+a_{2})x^{n-3}+\ldots +(a_{0}\alpha _{1}^{n-1}+a_{1}\alpha _{1}^{n-2}+\ldots +a_{n-1})+$

$+a_{0}x^{n-1}+(a_{0}\alpha _{2}+a_{1})x^{n-2}+(a_{0}\alpha _{2}^{2}+a_{1}\alpha _{2}+a_{2})x^{n-3}+\ldots +(a_{0}\alpha _{2}^{n-1}+a_{1}\alpha _{2}^{n-2}+\ldots +a_{n-1})+$

$+................................................................$

$a_{0}x^{n-1}+(a_{0}\alpha _{n}+a_{1})x^{n-2}+(a_{0}\alpha _{n}^{2}+a_{1}\alpha _{n}+a_{2})x^{n-3}+\ldots +(a_{0}\alpha _{n}^{n-1}+a_{1}\alpha _{n}^{n-2}+\ldots +a_{n-1})=$

$=na_{0}x^{n-1}+(a_{0}s_{1}+na_{1})+(a_{0}s_{2}+a_{1}s_{1}+na_{2})x^{n-3}+\ldots +$

$+(a_{0}s_{n-1}+a_{1}s_{n-2}+\ldots +a_{n-2}s_{1}+na_{n-1})$,

dove con $s_{h}$ ho indicato la somma $\alpha _{1}^{h}+\alpha _{2}^{h}+\ldots +\alpha _{n}^{h}$ delle $h^{esime}$ potenze delle radici $\alpha$. Se ne deduce, confrontando primo e terzo membro:

$a_{0}s_{1}+a_{1}=0$

$a_{0}s_{2}+a_{1}s_{1}+2a_{2}=0$

$.........................$

$a_{n}s_{n-1}+a_{1}s_{n-2}+\ldots +a_{n2}s_{1}+(n-1)a_{n-1}=0$.

Le quali formole permettono di calcolare successivamente le $s_{1},s_{2},s_{3},\ldots s_{n-1}$. Moltiplicando $P(x)$ per $x^{h}(h=0,1,2,.....)$, sostituendo nel prodotto una delle $\alpha$ al posto di $x$ (col che tale prodotto si annulla) e sommando tali prodotti si trova: (posto $m=n+h=n,n+1,n+2,.....$)

$a_{0}s_{m}+a_{1}s_{m-1}+\ldots +a_{n-1}s_{m-n+1}+a_{n}s_{m-n}=0(m\geq n)$

che permette di calcolare successivamente $s_{n},s_{n+1},s_{n+2},.....$

Cosicchè: Si possono calcolare le ${\text{s}}_{h}$ appena sono noti i coefficienti ${\text{a}}_{i}$ dell’equazione $\mathrm {P(x)=0}$.

$\delta$) Si calcoli la somma ${\text{s}}_{\alpha ,\beta }$ dei prodotti ottenuti moltiplicando la potenza $\alpha ^{esima}$ di una radice di una data equazione per la potenza $\beta ^{esima}$ di un’altra radice.

Basta osservare che il prodotto $s_{\alpha }s_{\beta }=s_{\alpha ,\beta }+s_{\alpha +\beta }$ se $\alpha \not =\beta$ e che $s_{\alpha }s_{\alpha }=s_{2\alpha }+2s_{\alpha ,\alpha }$.

Cosicchè $s_{\alpha ,\beta }=s_{\alpha }s_{\beta }-s_{\alpha +\beta }$, se $\alpha \not =\beta$, e $s_{\alpha ,\alpha }={\frac {1}{2}}(s_{\alpha }s_{\alpha }-s_{\alpha \alpha })$.

Le formole di Newton permettono così di esprimere in ogni caso $s_{\alpha ,\beta }$ per mezzo dei coefficienti dell’equazione. In modo analogo si deduce all’esame del prodotto $s_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }$ che: La somma ${\text{s}}_{\alpha ,\beta ,\gamma }$ dei prodotti ottenuti moltiplicando la $\alpha ^{esima}$ potenza d’una radice di una equazione per la $\beta ^{esima}$ potenza di una seconda radice, e la $\gamma ^{esima}$ potenza d’una terza radice è esprimibile razionalmente² mediante i coefficienti dell’equazione stessa.

In modo simile si definiscono e si insegnano a calcolare le $s_{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$, eccetera, eccetera.

Tanto le $s_{\alpha }$ che le $s_{\alpha ,\beta },s_{\alpha ,\beta ,\gamma },$ eccetera, sono funzioni simmetriche delle radici d’una equazione (cioè non cambiano di valore, quando tali radici si permutino tra di loro in un modo qualsiasi). Ed è facile persuadersi che ogni polinomio simmetrico delle radici d’un equazione si ottiene come combinazione lineare delle somme $s_{\alpha },s_{\beta ,\gamma },s_{\alpha ,\beta ,\gamma }.....$ testè calcolate, ed è quindi esso stesso calcolabile razionalmente mediante i coefficienti dell’equazione (senza che sia necessario risolverla).

Così, per esempio, se $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4}$ sono le quattro radici di una equazione di quarto grado, l’espressione:

$5\alpha _{1}(\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}+\alpha _{3}^{2}\alpha _{2}^{2}+\alpha _{4}^{2}\alpha _{2}^{2})+5\alpha _{2}(\alpha _{3}+\alpha _{4}^{2}+\alpha _{4}^{2}\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}^{2}\alpha _{2}^{2})+$

$+5\alpha _{3}(\alpha _{4}^{2}\alpha _{1}^{2}+\alpha _{1}^{2}\alpha _{2}^{2}+\alpha _{4}^{2})+5\alpha _{4}(\alpha _{1}^{2}\alpha _{2}^{2}+\alpha _{2}^{2}\alpha _{3}^{2}+\alpha _{3}^{2}\alpha _{1}^{2})+$

$+4\alpha _{1}^{2}(\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})+4\alpha _{2}^{2}(\alpha _{3}+\alpha _{4}+\alpha _{1})+4\alpha _{3}^{2}(\alpha _{4}+\alpha _{1}+\alpha _{2})+$

$+4\alpha _{4}^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})=5s_{1,2,2}+4s_{2,1}=5(s_{1},s_{2,2}-s_{2,3})+4s_{2,1}=$

$=5\left(s_{1}{\frac {s_{2}^{2}-s_{4}}{2}}-\left[s_{2}s_{3}-s_{5}\right]\right)+4\left(s_{2}s_{1}-s_{3}\right).$

Il suo calcolo è ridotto a quello di $s_{1},s_{2},s_{3},s_{4},s_{5}$, che noi sappiamo eseguire per mezzo delle formole di Newton. Ma, naturalmente, speciali artifici potrebbero abbreviarlo di gran lunga.

Note

1. Ricordo che le $\alpha$ possono anche essere non tutte distinte.
2. Vale a dire con sole addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni.