Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 13

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 4 - Regola di Ruffini

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§ 13. - Regola di Ruffini.

Vogliamo dividere il polinomio

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}$

per $x-\alpha$ . Il quoziente sarà un polinomio

$Q(x)=q_{0}x^{n-1}+qx^{n-2}+\ldots +q_{n-1}$

di grado $n-1$ ; il resto sarà un polinomio di grado zero, cioè un numero $R$ indipendente da $x.$ Calcoliamo quoziente e resto. Sarà identicamente

$P(x)=(x-\alpha )Q(x)+R$ .

Cioè, confrontando i coefficienti delle varie potenze della $x$ :

a_{0}=q_{0};

a_{1}=q_{1}-\alpha q_{0};

2=q_{2}-\alpha q_{1};

\ldots ;

a_{n-1}=q{n-1}-\alpha q_{n-2};

a_{n}=R-\alpha q_{n-1}.

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Le quali formole equivalgono alle seguenti che consentono il più semplice e rapido calcolo dei coefficienti $q_{i}$ e del resto $R$

$q_{0}$	$=a_{0}$
$q_{1}$	$=a_{1}+\alpha q_{0}$
$q_{2}$	$=a_{2}+\alpha q_{1}$
	. . . . . .
$q^{8}$	$=a_{8}+\alpha q_{8-1}$
	. . . . . .
$q_{n-1}$	$=a_{n-1}+\alpha q_{n-2}$
$R$	$=a_{n}+\alpha q_{n-1}$ .

Cioè: I primi coefficienti a₀, q₀ sono uguali; e per ${\text{s}}\geq 1$ ogni q_s è uguale al coefficiente omologo a_s aumentato dal prodotto di $\alpha$ per il precedente coefficiente q_s-1. Posto R = q_n, questa proposizione è vera anche per s = n.

Le precedenti formole dimostrano che:

q_{0}=a_{0}

;

q_{1}=a_{0}\alpha +a_{1}

;

q_{2}=a_{0}\alpha ^{2}+a_{1}\alpha +a_{2}

$q_{s}=a_{0}\alpha ^{s}+a_{1}\alpha ^{s-1}+\ldots +a_{s-1}\alpha +a_{s}$

$R=q_{n}=a_{0}\alpha ^{n}+a_{1}\alpha ^{n-1}+\ldots a_{n-1}\alpha +a_{n}$ .

L’ultima delle quali si enuncia così:

Il resto ottenuto nella divisione di un polinomio P(x) per ${\text{x}}-\alpha$ si ottiene scrivendo $\alpha$ al posto della x in P(x). Cosicchè: Il polinomio P(x) è divisibile per ${\text{x}}-\alpha$ allora e allora soltanto che $\alpha$ soddisfa alla ${\text{P}}(\alpha )=0$ , cioè che $\alpha$ è radice dell’equazione ${\text{P}}({\text{x}})=0$ .