Lezioni di analisi matematica/Capitolo 7/Paragrafo 44

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 7 - Cambiamento nell'ordine dei termini di una serie a termini positivi

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§ 44. — Cambiamento nell'ordine dei termini in una serie a termini positivi.

Se $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

è una serie, i cui termini appartengono anche alla serie

$b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots$ ,

se i termini di entrambe le serie sono positivi, se la seconda serie converge, anche la prima serie converge, ed ha una somma che non supera la somma della seconda.

Infatti se n è un intero qualsiasi, potremo trovare un altro intero $m<\geq n$ tale che nei primi m termini della seconda serie siano contenuti tutti i primi n termini della prima.

Sarà

$(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})\leq (b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{m})$ (1).

Il limite del 2° membro per $m=\infty$ e quindi anche per $n=\infty$ uguaglia la somma $\Sigma$ della seconda serie, che per ipotesi è un numero finito: quindi il primo membro di (1) non può tenedere all'infinito, e perciò la prima serie converge ed ha una somma finita $S$ . Passando poi al limite per $n=\infty$ , la (1) dimostra che $S\leq \Sigma$ .

Se

[1] $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$

è una serie convergente a termini tutti positivi (o tutti negativi), e se

[2] $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots$

è una serie dedodda da [1], cambiando l'ordine dei termini, anche lla [2] è convergente, e le due serie [1] e [2] hanno la stessa somma.

Infatti, poichè i termini della [2] appartengono a tutti alla [1], per il lemma precedente la serie [2] converge; e se $S,\Sigma$ sono le somme di [1] e [2], è $\Sigma \leq S$ . Ma, poichè viceversa anche tutti i termini di [1] sono termini di [2], è anche $S\leq \Sigma$ . Quindi necessariamente $S=\Sigma$ .

Questo teorema vale naturalmente, anche se la serie è a termini tutti negativi. c.d.d.