Lezioni di analisi matematica/Capitolo 7/Paragrafo 45

by Guido Fubini

Capitolo 7 - Serie a termini negativi e positivi. Serie a termini complessi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 45. — Serie a termini negativi e positivi.
Serie a termini complessi.

Cominciamo dalla considerazione di una serie a termini reali

[1]                              $u_{1}+u_{2}+u_{3}+\cdots$

Sul segno dei termini non facciamo alcuna ipotesi. Siano $a_{1},a_{2},\cdots$ quei termini di questa serie che sono positivi, $-b_{1},-b_{2},-b_{3},\cdots$ quei termini della nostra serie che sono negativi. Tra i primi n termini della [1] ce ne saranno, per es., m positivi, p negativi: $m+p=n$. E sarà quindi

$u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}=(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})-(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{p})$.

Supponiamo che sieno convergenti le due serie

[2]                              $a_{1}+a_{2}+a_{3}\cdots$

[3]                              $b_{1}+b_{2}+b_{3}+\cdots$¹

e ne siano $S,s$ le somme. Allora

$\lim _{n=\infty }(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n})=\lim _{m=\infty }(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})-$

$-\lim _{p=\infty }(b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{p})=S-s$.

Quindi: la [1] è convergente ed ha per somma $S-s$.

Con le notazioni precedenti si ha evidentemente

$|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots +|u_{n}|=(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{m})+$

$+(b_{1}+b_{2}+\cdots b_{p})$

donde, come sopra, si deduce che la serieù [4]                              $|u_{1}|+|u_{2}|+|u_{3}|+\cdots$

è convergente, ed ha per somma $S+s$.

Supponiamo ora viceversa che la [4] sia convergente, ed abbia quindi una somma finita $T$.

Siccome ognuna delle quantità $a_{1}$ è un termine di [4], per il lemma del precedente paragrafo, la [2] è convergente. In modo analogo si dimostra che la [3] converge, e che, quindi, per quanto si è visto, converge anche la [1].

Dunque:

Una serie [1] converge, quando converge la serie [4] dedotta dalla [1], sostituendo a ogni termine il suo valore assoluto.

Si avverte che il teorema reciproco non è vero. così, p. es., se ne trae che [1] converge se il $\lim _{n=\infty }\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|$ esiste, ed è minore di 1.

Una serie [1], tale che converga la serie [4] formata coi valori assoluti dei suoi termini, si dice assolutamente convergente.

Teorema Una serie [1] assolutamente convergente rimane tale, e non muta di valore, comunque si cambi l'ordine dei suoi termini.

Infatti il cambiare l'ordine dei termini della [1] equivale a murate al più l'ordine dei termini della [2], [3]. ma come sappiamo, comunque si muti quest'ordine, la serie [2], [3]. ma come sappiamo, comunque si muti quest'ordine, le serie [2], [3] a termini positivi restano convergenti, e le loro somme continuano ad essere rispettivamente uguali a $S,s$. per le considerazioni precedenti la [1] resterà ancora convergente, e la sua somma sarà ancora $S-s$.

Si può invece dimostrare che in una serie convergente, ma non assolutamente convergente, si può mutare l'ordine dei termini in guisa che la serie diventi o divergente, o indeterminata, o abbia quella somma che più ci piace. Naturalmente è necessario cambiar l'ordine di un numero infinito di termini per ottenere una tale variazione.

Questi teoremi si estendono subito a una serie a termini complessi

(1)                              $w_{1}+w_{2}+w_{3}+\cdots$

                              $(w_{n}=u_{n}+iv_{n})$

col teorema:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè siano assolutamente convergenti tanto le serie $u_{1}+u_{2}+\cdots$ formata con le parti reali dei termini di (1) quanto le serie $v_{1}+v_{2}+\cdots$ formata coi coefficienti di i nei termini di (1) è che sia convergente la serie $|w_{1}|+|w_{2}|+\cdots$ dei moduli dei termini di (1). (Ricordo che $|w_{n}|={\sqrt {u_{n}^{2}+v_{n}^{2}}}$).

Infatti $|w_{n}|\leq |u_{n}|+|v_{n}|$. Se le serie delle $|u_{n}|$ e delle $|v_{n}|$ convergono, converge anche òa serie somma, ed a fortiori converge la serie delle $w_{n}$. Viceversa, se converge quest'ultima serie, convergono le serie delle $|u_{n}|$ e quella delle $|v_{n}|$, perchè $|u_{n}|\leq |w_{n}|$     ,     $|v_{n}|\leq |w_{n}|$.

Tali serie si dicono ancora assolutamente convergenti. Anche per una serie $w_{1}+w_{2}+\cdots$ a termini complessi vale il teorema che, se $\lim _{n=x}\left|{\frac {w_{n+1}}{w_{n}}}\right|<1$, la serie è assolutamente convergente, ed ha una somma indipendente dall'ordine dei suoi termini.

Esempi

1° La serie $w_{1}+w_{2}+\cdots$, dove $w_{1}=1,w_{n}={\frac {x^{n-1}}{\lfloor {n-1}}}$ converge assolutamente per ogni valore (anche complesso) della $x$ perchè il rapporto

$\left|{\frac {w_{n}+1}{w_{n}}}\right|=\left|{\frac {x^{n}}{\lfloor {n}}}\right|:\left|{\frac {x^{n-1}}{\lfloor {n-1}}}\right|=\left|{\frac {x}{n}}\right|$

tende a zero per $n=\infty$. Dal teor. ε) del § 42 segue in particolare che $\lim _{n=+\infty }{\frac {x_{n}}{\lfloor {n}}}=0$.

2° Studiamo ora la serie $1+u_{1}+u_{2}+\cdots$ ove si è posto: $u_{n}={\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)x^{n}}{\lfloor {n}}}$ ossia la serie $1+{\frac {m}{1}}x+{\frac {m(m-1}{1.2}}x^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{1.2.3}}x^{3}+\cdots$

dove m è una qualsiasi costante.

Se m è un intero positivo, tutti i termini dopo lo $(m+1)^{esimo}$ sono nulli e sla serie si riduce ad un polinomio uguale (§ 11, pag. 44) ad $1+x)^{m}$.

Se m non è un intiero positivo, allora si noti che:

$\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=\left|{\frac {\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)(m-n)}{\lfloor {n+1}}}{\frac {m(m-1)\cdots (m-n+1)}{\lfloor {n}}}}{\frac {x^{n+1}}{x^{n}}}\right|=\left|{\frac {m-n}{n+1}}\right||x|$

$=|x|\left|{\frac {{\frac {m}{n}}-1}{1+{\frac {1}{n}}}}\right|$;

e quindi

$\lim _{n=\infty }\left|{\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right|=|x|$.

Se dunque $|x|<1$, la nostra serie converge assolutamente.

E in particolare ne consegue che, se $|x|<1$, allora

$\lim _{n=\infty }{\frac {m(m-1)(m-2)\cdots (m-n+1)}{\lfloor {n}}}x^{n}=0$.

Note

1. I risultati seguenti valgono anche se di termini positivi, o di termini negativi nella [1] ve n'è solo un numero finito, se cioè una delle serie [2] [3] si riduce a una somma. Questi risultati valgono anche se la [1] ha dei termini nulli.