Lezioni di analisi matematica/Capitolo 8/Paragrafo 61

by Guido Fubini

Capitolo 8 - Derivate successive

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 8 - Derivate successive

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§ 61. — Derivate succive.

α) Sia $v(x)$ la velocità di un punto mobile $M$ all'istante $x$. Il movimento si dice uniformemente accelerato, se la velocità riceve incrementi uguali in tempi uguali; e il tal caso il rapporto ${\frac {\Delta \,v}{\Delta \,x}}$, dove $\Delta v$ è l'incremento ricevuto dalla velocità in un intervallo di tempo di ampiezza $\Delta x$, si dice l'accelerazione del movimento.

Ne caso generale tale rapporto assume il nome di accelerazione media nell'intervallo ($x,x+\Delta x$) di tempo considerato. E, per ragioni analoghe a quelle svolte negli esempi di pag. 157 e seg., il suo limite per $\Delta x=0$, ossia $v'(x)=\lim _{\Delta x=0}{\frac {\Delta v}{\Delta x}}$ si dice accelerazione all'istante $x$. L'accelerazione si presenta così come la derivata della velocità $v(x)$ rispetto al tempo $x$.

Ora, se $y=f(x)$ è lo spazio percorso dal nostro punto $M$ all'istante $x$, è $v(x)=f'(x)$. Quindi l'accelerazione è data dalla derivata della derivata $f'(x)$ di $f(x)$.

β) In generale la derivata della derivata $f'$ di una funzione $y=f(x)$ si indica con $y''$ o con $f''(x)$ e si chiama derivata seconda di <math<y=f(x)</math>. Questa p una nuova funzione di $x$, che a sua volta può ammettere una derivata che si chiama derivata terza di $y$ e si indica con $y'''$ o con $f'''(x)$. E così via.

In generale $y$ può ammettere una derivata $n^{esima}$ o dell'ordine $n$ che si indica con $y^{(n)}$ o con $f^{(n)}(x)$.

La $y'=f'(x)$ si chiama anche prima derivata di $y$.

Con $d^{2}y$ si indica il prodotto di $f''(x)$ per $dx^{2}$.

Con $d^{n}y$       ”           ”      ” $f^{(n)}(x)$  ” $dx^{n}$.

Il simbolo $d^{n}y$, teste definito, riceve il titolo di differenziale $n^{esimo}$. Osserviamo che $d^{n}y=y^{(n)}dx^{n}$ è il differenziale di

$d^{(n-1)}y=y^{(n-1)}dx^{n-1}$

quando per un momento si consideri $dx$ come costante¹. Infatti in questa ipotesi la derivata di $d^{(n-1)}y$, ossia di $y^{(n-1)}dx^{n-1}$ è $y^{(n)}dx^{n-1}$, e il suo differenziale è $y^{(n)}dx^{n}$.

Con queste convenzioni, la derivata $y^{(n)}$ si può scrivere nella forma ${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}$.

γ) Abbiamo detto (§ 59, pag. 187) che, se $y=f(x)$, allora

$dy=f'(x)dx$,

anche se $x$ non è la variabile indipendente.

Un teorema analogo non vale per i differenziali di ordine superiore al primo; tutte le volte che si introducono nel calcolo tali differenziali, bisogna prefissare quale è la variabile indipendente scelta, e non più mutarla nel resto del calcolo.

Basti ricordare che il differenziale secondo $d^{2}x$ della variabile indipendente $x$ è nullo, perchè la derivata seconda della $x$ rispetto alla $x$ è nulla.

Esempio.

Calcolare le derivate successive del polinomio:

$p(x)=a_{0}+a_{1}(x-\alpha )+a_{2}(x-\alpha )^{2}+\cdots +a_{n}(x-\alpha )^{n}$.

Si trova:

$p'(x)=a_{1}+2a_{2}(x-\alpha )+3a_{3}(x-\alpha )^{2}+\cdots +na_{n}(x-\alpha )^{n-1}$

$p''(x)=\lfloor {2}a_{2}+3.2a_{2}(x-\alpha )+\cdots +n(n-1)a_{n}(x-\alpha )^{n-2}$

$\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,$

$\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,$

$p^{(i)}(x)=\lfloor {i}a_{i}+2.3.4\cdots (i+1)a_{i+1}(x-\alpha )+$

$3.4\cdots (i+2)a_{i+2}(x-\alpha )^{2}+\cdots +(n-i+1)(n-1+2)\cdots na_{n}(x-\alpha )^{n-}$

$\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,\cdot \,$

$p^{(n-1)}(x)=\lfloor {n-1}a_{n-1}+2\cdot 3\cdots 4\cdots (n-1)na_{n}(x-\alpha )$

$p^{(n)}(x)=\lfloor {n}a_{n}$.

E le derivata successive, dalla $(n+1)^{esima}$ in poi, sono nulle.

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Note

1. Cioè si considera $dx$ come indipendente dalla $x$, ossia come avente uno stesso valore in ogni punto $x$, e perciò come avente derivata nulla ruspetto alla $x$.