Lezioni di analisi matematica/Capitolo 9/Paragrafo 65

by Guido Fubini

Capitolo 9 - Derivazione per serie

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 65. — Derivazione per serie.

Teor. Se la serie

(1)                                        $u_{1}(x)+u_{2}(x)+.\,.\,.\,.\,.$

è convergente nell'intervallo $\mathrm {a\leq x\leq b}$, se esiste la derivata di ogni suo termine, se la serie delle derivate

(2)                              $u'_{1}(x)+u'_{2}(x)+u'_{3}(x)+.\,.\,.\,.\,.$

è totalmente convergente in (a, b), allora (2) rappresenta proprio la derivata di (1). Cioè la derivata di (1) si può ottenere derivando termine a termine.

Sia $L_{n}$ il limite superiore dei valori $|u_{n}(x)|$. per ipotesi la serie $L_{1}+L_{2}+L_{3}+.....$ è convergente. Consideriamo i valori assoluti dei rapporti incrementali

(3)                                        $\left|{\frac {u_{n}(x+h)-u_{n}(x)}{h}}\right|$,

quando $x$ ed $x+h$ variano nell'intervallo ($a,b$). Per il teorema della media, la quantità (3) vale $|u'_{n}(x+\theta \,h|\leq L_{n}$. Quindi (3) non può superare $L_{n}$. E quindi la serie

(4)     ${\frac {u_{1}(x+h)-u_{1}(x)}{h}}+{\frac {u_{2}(x+h)-u_{2}(x)}{h}}+$

$+{\frac {u_{3}(x+h)-u_{3}(x)}{h}}+.\,.\,.\,.\,.$

è totalmente convergente. Il suo limite per $h=0$ è dunque uguale alla serie ottenuta passando al limite termine a termine. Perciò i limite di (4) per $h=0$ vale

(2)                    $u'_{1}(x)+u'_{2}(x)+u'3+.\,.\,.\,.\,.$

Ora, se $u(x)$ è la somma di (1), la (4) vale ${\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}$. Dunque la serie (2) è il $\lim _{h=0}\,{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}$ cioè vale $u'(x)$.