Lezioni di analisi matematica/Capitolo 9/Paragrafo 64

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 9 - Radici multiple di una equazione

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[p. 203 modifica] [p. 204 modifica]In particolare:

Condizione necessarie e sufficiente affinchè a sia radice della $\mathrm {f(x)=0}$ di ordine maggiore di 1 è che a sia radice della $\mathrm {f(x)=0}$ , e sia radice (di ordine positivo) della $\mathrm {f'(x)=0}$ .

Questo teorema ha particolare importanza nel caso dei polinomi $P(x)$ . Se $P(x)=\alpha _{0}(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2}).....(x-\alpha _{n})$ , uno dei numeri $\alpha _{1},\alpha _{2},....,\alpha _{n}$ , p. es., $\alpha _{1}$ , sarà radice della $P(x)=0$ di ordine $h$ , soltanto se $h$ è un intero positivo, e se tra i numeri $\alpha _{1},\alpha _{2},.....,\alpha _{n}$ ve ne sono $h$ uguali ad $\alpha _{1}$ . Il fattore corrispondente $x-\alpha _{1}$ compare $h-1$ volte in $P'(x),h-2$ volte in $P''(x),.....$ , una volta in $P^{(h-1)}(x)$ , nessuna volta in $P^{(h)}(x)$ . È facile dedurne:

Condizione necessaria e sufficiente affinchè $\alpha _{1}$ sia radice di ordine h per un'equazione algebrica $P(x)=0$ è che h sia un intero, e che $\alpha _{1}$ sia radice delle $P(x)=0,P'(x)=0,.....,P^{(h-1)}(x)=0$ e non sia radice della $P^{(h)}(x)=0$ .

Quest'ultimo teorema vale anche se $\alpha _{1}$ è un numero complesso ed anche se i coefficienti di $P(x)$ sono complessi.

Se ne deduce anche:

Il massimo comun divisore di $\mathrm {P(x)}$ e $\mathrm {P'(x)}$ contiene tutti e i soli fattori multipli del polinomio $\mathrm {P(x)}$ ; e precisamente contiene $\mathrm {h-1}$ volte un fattore multiplo di ordine h. Se $\mathrm {Q(x)}$ è il quoziente di $\mathrm {P(x)}$ per tale massimo comun divisore, l'equazione $\mathrm {Q(x)=0}$ ha per radici semplici tutte e solo le radici di $\mathrm {P(x)=0}$ .

Si può, del resto, dedurre da quanto precede un metodo più completo per approfondire l'esame di una equaazione algebrica dotata di radici multiple. E noi, per semplicità, lo esporremo in un caso particolare.

Consideriamo un'equazione dotata di radici multiple, p. es., la:

$0=f(z)=(z-a)(z-b)(z-c)^{2}(z-d)^{2}(z-e)^{3}(z-f)^{4}$

Il massimo comune divisore $\varphi (z)$ tra la $f(z)$ e la sua prima derivata $f'(z)$ è:

$\varphi (z)=(z-c)(z-d)(z-e)^{2}(z-f)^{3}$ .

Del pari il massimo comune divisore tra $\varphi (z)$ e $\varphi '(z)$ è:

$\varphi _{1}(z)=(z-e)(z-f)^{2}$ .

Così il massimo comune divisore tra $\varphi _{1}(z)$ e $\varphi '_{1}(z)$ è:

$\varphi _{2}(z)=(s-f)$ ;

Infine il M. C. D. tra $\varphi _{2}(z)$ e $\varphi '_{2}(z)$ è:

$\varphi _{3}(z)=1$ .

Ciò posto, si formino i quozienti:

$\psi (z)={\frac {f(z)}{\varphi (z)}}=(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)(z-e)(z-f)$ ;

$\psi _{1}(z)={\frac {\varphi (z)}{\varphi _{1}(z)}}=(z-c)(z-d)(z-e)(z-f)($ :

$\psi _{2}(z)={\frac {\varphi _{1}(z)}{\varphi _{2}(x)}}=(z-e)(z-f)$ ;

$\psi _{3}(z)={\frac {\varphi _{2}(z)}{\varphi _{3}(z)}}=z-f$ . [p. 205 modifica]Indi si formino i quozienti:

$X(z)={\frac {\psi (z)}{\psi _{1}(z)}}=(z-a)(z-b)$ ;

$X_{2}(z)={\frac {\psi _{2}(z)}{\psi _{3}(x)}}=z-e$ ;

$x_{(}z)={\frac {\psi _{1}(z)}{\psi _{2}(z)}}=(z-c)(z-d)$ ;

$X_{3}(z)={\frac {\psi _{3}(z)}{1}}=z-f$ .

Uguagliando a zero questi quattro quozienti si hanno quattro equazioni: la prima ha per radici semplici della proposta $f(z)=0$ , la seconda ha per radici le radici doppie, la terza ha per radici le triple e la quarta ha per radici le radici quadruple di $f(z)$ , ma tutte come radici semplici.

Il metodo qui applicato vale in generale; e, generalmente, si ottiene il risultato seguente.

Sia data un'equazione intera ad un'incognita:

$f(z)=a_{1}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+.....+a_{n-1}z+a_{n}=0$ .

Della $f(x)$ e della sua prima derivata $f'(x)$ si calcoli il massimo comune divisore; indi di questo e della sua prima derivata si calcoli M. C. D. e così si prosegua fino ad ottenere una costante. Ciò fatto si divida $f(z)$ per il primo massimo comune divisore e così via fino a dividere il penultimo M. C. D. trovato per l'ultimo. Finalmente si divida il primo quoziente per il secondo, il secondo per il terzo e così via fino a dividere l'ultimo per l'unità. I quozienti ottenuti uguagliati a zero avranno per radici le radici semplici, doppie, ecc. dell'equazione data, tutte come radici semplici.

Esempio.

Consideriamo l'equazione:

$f(x)=z^{6}-z^{5}-7z^{4}+9z^{3}+10z^{2}-20^{z}+8=0$ .

Cercando il massimo comune divisore tra $f(z)$ ed $f'(z)=6z^{5}-5z^{4}-28z^{3}+27z^{2}+20z-20$ , si trova:

$\varphi (z)=z^{3}-3z+2$ .

Ora $\varphi '(z)=3z^{2}-2$ , il M. C. D. tra $\varphi '(z)\,{\text{e}}\,\varphi (z)$ è:

$\varphi _{1}(z)=z-1$ .

e il M. C. D. tra $\varphi _{1}(z)$ e $\varphi '_{1}(z)$ è:

$\varphi _{2}(z)=1$ .

Ora, dividendo ciascuna delle funzioni $f(z),\varphi (z),\varphi _{1}(z)$ per la seguente, si hanno le funzioni:

$\psi (z)={\frac {f(z)}{\varphi (z)}}=z^{3}-z^{2}-4z+a$ ;

$\psi _{1}(z)={\frac {\varphi (z)}{\varphi _{1}(z)}}=z^{2}+z-2$ ;

$\psi _{2}(z)={\frac {\varphi _{1}(z)}{\varphi _{2}(z)}}=z-1$ .

Infine eseguendo le divisioni $\psi (z):\psi _{1}(z)$ ; $\psi _{1}(z):\psi _{2}(z)$ ; $\psi _{2}(z):1$ si ottengono rispettivamente i quozienti:

$z-2$ , $z+2$ , $z-1$ ,

i quali, posti uguali a zero, danno le equazioni:

$z-2=0$ , $z+2=0$ , $z-1=0$ ,

che hanno per radici rispettivamente le radici semplici, doppie, triple della proposta (ma tutte come semplici). Dunque l'equazione proposta ha una radice semplice $2$ , una radice doppia $-2$ , una radice tripla $1$ .

Osservazione. — L'equazione

f(z)=0

avrà radici tutte semplici, soltanto se il primo massimo comune divisore (quello tra

f(z)

e

f'(z)

è una costante; questa osservazione dà, come già dicemmo, il più semplice modo per riconoscere se una equazione ha radici multiple, senza ricorrere al discriminante. [p. 206 modifica]

Esercizi.

1° Riconoscere coi metodi precedenti se e quando avviene che una delle seguenti equazioni ha una radice doppia, o tripla, o ecc.

$x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$