Matematica allegra/11b
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Lotto, sogni e cabale
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Il popolino vede nel gioco del lotto la diretta derivazione dei suoi sogni e delle sue cabale, ossia di quelle pubblicazioni... misteriose che svelano i rapporti fra i sogni e i numeri da estrarsi. Molte volte i sogni e le cabale fanno vincere veramente, ma ciò non può far parte della matematica, così come non ne può far parte il numero corrispondente alle gambe delle donne o alla paura o al morto che parla.
Matematicamente il gioco del lotto pone il suo problema in questi termini: «da un sacchetto contenente 90 numeri diversi se ne estraggono 5; quale è la probabilità che fra quei cinque ne escano due, oppure tre, oppure quattro, oppure anche cinque da noi scelti in precedenza, indipendentemente dal loro ordine?».
Dividiamo il problema in parti, nell’ordine:
1°) Si deve determinare in quanti modi i 90 numeri possono disporsi, due a due, oppure tre a tre, oppure 4 a 4, oppure 5 a 5.
È evidente che le disposizioni due a due seguiranno questo andamento: ogni numero si accoppierà con gli 89 rimanenti, e siccome i numeri sono 90 avremo 90 x 89 = 8010 accoppiamenti.
Per formare le terne, ossia le disposizioni a tre a tre, basterà che ognuna delle 8010 coppie, si unisca con ognuno degli 88 numeri rimanenti, e avremo perciò 8010 x 88 = 90 x 89 x 88 terne.
Analogamente le quaterne, ossia le disposizioni a 4 a 4, saranno formate unendo le 90 x 89 x 88 terne con ognuno degli 87 numeri rimanenti e avremo 90 x 89 x 88 x 87 quaterne. E infine le cinquine si otterranno nello stesso modo, unendo ogni quaterna a ognuno degli 86 numeri rimanenti: avremo perciò che il numero delle cinquine sarà 90 x 89 x 88 x 87 x 86.
In questo modo abbiamo determinato il numero di tutte le disposizioni dei 90 numeri a 2 a 2, a 3 a 3, a 4 a 4, a 5 a 5; fra di queste ce ne sono parecchie con gli stessi numeri ma in ordine diverso. E poiché nel gioco del lotto interessano i numeri e non il loro ordine, dovremo precisare quante sono.
2°) Dobbiamo perciò determinare in quanti modi due numeri, o tre, o quattro o cinque possano unirsi, o meglio in quanti modi mutar di posto o permutarsi. È chiaro che due numeri a e b, non hanno che due modi di presentarsi: (a, b) oppure (b, a). Tre numeri a, b, c, possono presentarsi nelle seguenti maniere: (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a): in tutto 6 maniere, ottenute facilmente, facendo rotare le tre lettere al primo posto e ai successivi. La coppia si permutava in 1 x 2 = 2 maniere; la terna in 1 x 2 x 3 = 6 maniere. La quaterna, ossia le quattro lettere (a, b, c, d,) possono permutarsi, come vi sarà facile verificare in 1 x 2 x 3 x 4 = 24 maniere; la cinquina infine, in 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 maniere.
3°) Determinato così il numero di tutte le disposizioni possibili a coppie, a terne, ecc... e il numero delle permutazioni che si possono fare con una coppia, una terna, ecc... basterà dividere il primo numero per il secondo, per ottenere il numero delle combinazioni nei diversi casi, tenuto conto solo della diversità dei numeri e non del loro ordine.
Per la coppia avremo: 90 x 89 / 1 x 2 = 8010/2 = 4005.
Per la terna: 90 x 89 x 88 / 1 x 2 x 3 = 117.480.
Per la quaterna: 90 x 89, x 88 x 87 / 1 x 2 x 3 x 4 = 2.555.190.
Per la cinquina: 90 x 89 x 88 x 87 x 86 / 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 43.949.268.
Siamo perciò arrivati a determinare il numero di ambi, terni, quaterne e cinquine che si possono formare con 90 numeri diversi, senza tener conto dell’ordine dei numeri, ma solo della loro diversità.
Avremmo ottenuto perciò il numero dei casi possibili per ogni estrazione e la probabilità di estrarre un dato ambo e un dato terno ecc... sarebbe data dal rapporto di 1 ai numeri così trovati: 4005 per l’ambo, 117.480 per il terno, ecc.
Ma per ogni ruota non vengono estratti solo 2 o 3 o 4 o 5 numeri; ne vengono estratti sempre 5.
4°) Eccoci allora a determinare i casi possibili conseguenti all’estrazione dei cinque numeri per ruota, in rapporto all’insieme di numeri che a noi interessa: seguendo lo stesso sistema usato per il 90 e successivamente per ambo, terno, ecc., troveremo che con 5 numeri potremo fare le seguenti combinazioni a due a due: 5 x 4 / 1 x 2 = 10; a tre a tre: 5 x 4 x 3 / 1 x 2 x 3 = 10; a quattro a quattro: 5 x 4 x 3 x 2 / 1 x 2 x 3 x 4 = 5; a cinque a cinque: = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 1.
5°) Dividendo ora i casi possibili, ossia le combinazioni possibili con 90 numeri per quelle possibili con 5 numeri, avremo i definitivi casi possibili per l’avverarsi dell’estrazione di un ambo, di un terno, ecc., per una ruota.
Ambo: (90 x 89 / 1 x 2) / (5 x 4 / 1 x 2) = 400,50.
Terno: (90 x 89 x 88 / 1 x 2 x 3) / (5 x 4 x 3 / 1 x 2 x 3) = 11748.
Quaterna: (90 x 89 x 88 x 87 / 1 x 2 x 3 x 4 ) / (5 x 4 x 3 x 2 / 1 x 2 x 3 x 4) = 511.038.
Cinquina: (90 x 89 x 88 x 87 x 86 / 1 x 2 x 3 x 4 x 5) / 1 = 43.949.268.
Siamo ora in grado di rispondere al quesito posto dal problema: la probabilità che escano i due numeri fissati, ossia l’ambo è 1 / 400,50; la probabilità che esca il terno: 1 / 11.748; la probabilità che esca la quaterna: 1 / 511.038; la probabilità che esca la cinquina: 1 / 43.949.268
Ciò significa che, affinché il gioco fosse equo, ossia a parità di rischio fra il giocatore e la cassa, (in questo caso lo Stato, che amministra il gioco del lotto), la vincita di un ambo dovrebbe corrispondere al vincitore 400,50 volte la posta (il lotto paga invece 250 volte la posta); per la vincita di un terno, 11.748 volte la posta (il lotto paga invece 4.250 volte la posta); per la quaterna 511.038 volte la posta (il lotto paga invece 80.000 volte la posta); per la cinquina dovrebbe pagare 43.949.268 volte la posta (il lotto la paga solo un milione di volte).
Il lotto perciò non è un gioco equo: e la differenza fra quanto dovrebbe pagare e quanto invece paga, spiega il perché questo gioco sia tanto redditizio per le casse dello Stato. (Sia pure tenendo conto delle spese relative). In conclusione, per l’ambo il lotto paga il 62% di quanto dovrebbe pagare; per il terno paga il 36%; per la quaterna il 15%, e per la cinquina il 2,3%.
Molto più equo è il gioco della roulette - qui si parla sempre di equità matematica - la quale corrisponde ai vincitori quote rispondenti alle varie probabilità, con un margine dì guadagno del 3%, dato dalla presenza dello zero. Pagando 35 volte la posta più la posta stessa per l’uscita del numero puntato, la roulette paga i 36/37, ossia il 97% del dovuto. (La possibilità che esca un numero è 1 : 37, data la presenza dello zero oltre ai 36 numeri).
Pagando 11 volte la posta più la posta stessa per una determinata terna, paga ugualmente i 36/37, ossia il 97% del dovuto: infatti la probabilità che esca una data terna è 1 / (37 / 3), da cui 12 / (37 / 3) = 36/37. Per il cavallo cioè per l’uscita di uno dei due numeri a cavallo dei quali si mette la posta, la probabilità è data da 2/37; e poiché il banco paga 17 volte la posta più la posta stessa, paga il (18 x 2) / 37 = 36/37, ossia il 97% del dovuto, come per le altre vincite.
Anche per le cosiddette «chances pari» della roulette, ossia il rosso o nero, il pari o dispari, il passe (numeri maggiori di 18) o manque (numeri minori di 18) il banco paga i 36/37 del dovuto, ossia il 97%: infatti la probabilità per ognuna di esse è 18/37 (diciotto casi favorevoli su 37 possibili), e poiché, il banco paga per esse una volta la posta più la posta stessa ossia 2 volte la posta stessa, esso paga il (2 x 18) / 37 = 36/37 del dovuto. Come si vede, l’unico vantaggio del banco è il 3% dato dalla presenza dello zero.