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Osserviamo, per ultimo, che se si designano con $a'$, $b'$, $c'$ le tre radici dell’equazione (4) per un valore individuato, $k'$, di k, e se per un momento si pone

$\phi (x)=(x-a)(x-b)(x-c)$

$\psi (x)=(x-a')(x-b')(x-c')$,

la suddetta equazione (4) può scriversi così

$\phi (x)+{\frac {k'}{k-k'}}\psi (x)=0$.

Dunque, in virtù del teorema dimostrato nel § precedente, la conica rappresentata dall’equazione

(7)	${\frac {(b-c)[a]^{2}}{\psi (a)}}+{\frac {(c-a)[b]^{2}}{\psi (b)}}+{\frac {(a-b)[c]^{2}}{\psi (c)}}=0$

è conjugata con tutti i triangoli simultaneamente inscritti e circoscritti alle due coniche considerate in questo §. Ma, per ipotesi, si ha identicamente

$\psi (x)=-{\frac {\phi (x)}{k'}}\left\{{\frac {A}{x-a}}+{\frac {B}{x-b}}+{\frac {C}{x-c}}-k'\right\}$,

epperò

$\psi (a):\psi (b):\psi (c)=A\phi '(a):B\phi '(b):C\phi '(c)$.

Inoltre si è già trovato nel § precedente,

$[a]=A\phi '(a)x$,

$[b]=B\phi '(b)y$,

$[c]=C\phi '(c)$.

Sostituendo questi valori nell’equazione (7), si riconosce subito che la conica conjugata con tutti i triangoli inscritti e circoscritti è quella rappresentata dall’equazione semplicissima

(7)’	$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}=0$.

§ 4.

Passiamo a forme più generali dell’equazione d’una tangente variabile (o d’un punto variabile), restando ancora, per adesso, nella supposizione che l’inviluppo (od il luogo) debba essere una conica.