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colla condizione

$u^{2}+u_{1}^{2}+\cdots +u_{m}^{2}=a'^{2}$.

Conseguentemente il luogo dei punti rappresentati dal complesso delle $n-m$ equazioni lineari fra le coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, $\ldots x_{n}$ è uno spazio ad $m$ dimensioni, la cui curvatura è dovunque costante ed eguale a quella dello spazio primitivo.

Così per es. $n-2$ equazioni lineari rappresentano una superficie di curvatura costante $\left(=-{\frac {1}{R^{2}}}\right)$, che conviene distinguere col nome di superficie di prim’ordine; $n-3$ rappresentano uno spazio a tre dimensioni di curvatura costante $\left(=-{\frac {1}{R^{2}}}\right)$; есс.

Una linea geodetica reale è individuata senza ambiguità da due punti dello spazio: nelle ipotesi fin qui ammesse non è possibile alcuna eccezione a questa proprietà.

Una superficie di prim’ordine è individuata senza ambiguità da tre punti dello spazio. Essa contiene tutta intera la geodetica che passa per due suoi punti reali, talchè se due superficie reali di prim’ordine hanno due punti reali in comune, hanno del pari in comune tutta la geodetica individuata da questi.

Un triangolo geodetico giace sempre sopra una determinata superficie di prim’ordine, la quale è individuata anche quando il triangolo è infinitesimo. Perciò se si prolungano secondo linee geodetiche tutti gli elementi lineari contenuti in uno stesso elemento di superficie, le linee geodetiche così ottenute hanno tutte un luogo geometrico che è una determinata superficie di prim’ordine.

Quando due superficie di prim’ordine si intersecano lungo una linea, necessariamente geodetica, il loro angolo è dovunque costante; cioè condotti da un punto della loro intersezione due elementi lineari normali ad essa, l’uno nella prima, l’altro nella seconda superficie, la distanza infinitesima dei loro termini è costante, se sono costanti le loro lunghezze. Infatti¹ supposto diretto l’asse $x_{1}$, secondo la comune sezione delle due superficie, le equazioni di queste possono evidentemente esser messe sotto la forma

$(x_{2}=m_{2}x_{n},\;\;\;x_{3}=m_{3}x_{n},\cdots \;\;\;x_{n-1}=m_{n-1}x_{n})$,

$(x_{2}=m'_{2}x_{n},\;\;\;x_{3}=m'_{3}x_{n},\cdots \;\;\;x_{n-1}=m'_{n-1}x_{n})$,

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1. La seguente dimostrazione, che poteva a rigore essere omessa, si è inserita in grazia delle formole a cui conduce.