Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/113

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LA TRIGONOMETRIA ASSOLUTA

§ 56. Benchè le formule della trigonometria non-euclidea contengano, come caso limite, le ordinarie relazioni fra lati ed angoli di un triangolo [cfr. § 36], tuttavia esse non rientrano in quella che GIOVANNI Bolyai chiamava geometria assoluta. Invero, dette formule non si applicano senz'altro ai due tipi di geometria e furono dedotte supponendo la validità dell'ip. ang. acuto. Relazioni applicabili senz'altro al caso euclideo ed al caso non-euclideo furono da noi incontrate al § 49 e costituiscono il teorema di Bolyai. Esse sono tre, di cui due soltanto indipendenti, e ci forniscono così un primo gruppo di formule della trigonometria assoluta.

Altre formule di trigonometria assoluta furono date nel 1870 dal geometra belga M. De Tilly, nei suoi «Études de Mécanique abstraite.»1.

Le formule di De Tilly si riferiscono ai triangoli rettangoli e furono dedotte mediante considerazioni cinematiche, che utilizzano soltanto quelle proprietà di una regione limitata di piano, che sono indipendenti dal valore della somma degli angoli del triangolo.

Oltre la funzione [vedi simbolo 93.png], che già s'incontra nelle formule di Bolyai, in quelle di De Tilly compare un'altra funzione Ex, definita nel modo seguente. Sia r una retta, l la linea equidistante da r del segmento x. Poichè gli archi di l sono proporzionali alle rispettive proiezioni su r è chiaro che il rapporto fra un arco [rettificato] di l e la sua proiezione

  1. Mémoires couronnés et autres Mémoires, della Reale Accademia del Belgio, t. XXI [1870]. Vedi anche, dello stesso autore «Essai sur les principes fondamentaux de la Geométrie et de la Mécanique.», Mém. de la Societé des Sciences de Bordeaux, t. III, 1er Cahier [1878].