Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/115

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le (2) danno: cos alfa = sen beta, cos beta = sen alfa, cioè: (2') alfa+ beta = 90°; infine la (3) si riduce a una identità.

Le (1'), (2') comprendono tutta l'ordinaria trigonometria.

Caso non-euclideo. - Combinando fra loro le (1) e le (2) si ottiene:


[vedi formula 107_a.png]


Se poi applichiamo la 1a delle (2) ad un triangolo rettangolo col vertice A tendente all'infinito, e quindi alfa tendente a zero, avremo:


lim cos alfa = lim (Ea. sen beta)

Ma Ea è indipendente da alfa; l'angolo beta, al limite, diventa l'angolo di parallelismo corrispondente ad a, cioè pi greco(a). Avremo dunque:


1 Ea = ————————


sen alfa(a)


Altrettanto dicasi per Eb. Sostituendo nella (5) otteniamo:


[vedi formula 107_b.png]

da cui:

[vedi formula 107_c.png]


Questa relazione, insieme alla espressione di Ex, ci permette senz'altro di ottenere dalle (1), (2), (3) le formule della trigonometria di Lobacefski-Bolyai.


(1){ ctg pi greco(a) = ctg pi greco(c). sen alfa ctg pi greco(b) = ctg pi greco(c). sen beta


(2){ sen alfa = cos beta . sen pi greco(b) sen beta = cos alfa