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le (2) danno: cos alfa = sen beta, cos beta = sen alfa, cioè: (2') alfa+ beta = 90°; infine la (3) si riduce a una identità.
Le (1'), (2') comprendono tutta l'ordinaria trigonometria.
Caso non-euclideo. - Combinando fra loro le (1) e le (2) si ottiene:
[vedi formula 107_a.png]
Se poi applichiamo la 1a delle (2) ad un triangolo rettangolo col vertice A tendente all'infinito, e quindi alfa tendente a zero, avremo:
lim cos alfa = lim (Ea. sen beta)
Ma Ea è indipendente da alfa; l'angolo beta, al limite, diventa l'angolo di parallelismo corrispondente ad a, cioè pi greco(a). Avremo dunque:
1
Ea = ————————
sen alfa(a)
Altrettanto dicasi per Eb. Sostituendo nella (5) otteniamo:
[vedi formula 107_b.png]
da cui:
[vedi formula 107_c.png]
Questa relazione, insieme alla espressione di Ex, ci permette senz'altro di ottenere dalle (1), (2), (3) le formule della trigonometria di Lobacefski-Bolyai.
(1){
ctg pi greco(a) = ctg pi greco(c). sen alfa
ctg pi greco(b) = ctg pi greco(c). sen beta
(2){
sen alfa = cos beta . sen pi greco(b)
sen beta = cos alfa
