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§ 90. Vediamo finalmente come si esprima in {S} la distanza di due punti infinitamente vicini [distanza elementare], per riavvicinare l'attuale rappresentazione della geometria iperbolica con quella di BELTRAMI [cfr. § 69].
Siano (x, y), (x + dx, y + dy) due punti infinitamente vicini. La loro distanza ds si calcola per mezzo della (2) del § 81, ponendo in essa:
[vedi formula 165_a.png]
Se poi si sostituisce all'arco il seno e si eleva al quadrato, dopo alcune riduzioni si ricava:
(dx2 + dy2)(1 – x2– y2) + (xdx + ydy)2
ds2 = k2 ————————————————————————————————————————
(1 – x2– y2)2(1 – 2xdx + 2ydy – dx2 – dy2)
Trascurando finalmente gli infinitesimi di ordine superiore al secondo:
(dx2 + dy2)(1 – x2– y2) + (xdx + ydy)2
ds2 = k2 —————————————————————————————————————————
(1 – x2– y2)2
ovvero:
(1 – y2) dx2 + 2xy dx dy + (1 – x2) dy2 (5) ds2 = k2 ————————————————————————————————————————
(1 – x2– y2)2
Rammentiamo ora che BELTRAMI, nel 1868, interpretava la geometria di Lobacefski-Bolyai con quella delle superficie di curvatura costante negativa. Lo studio della geometria di tali superficie si effettua muovendo da un sistema (u, v) di coordinate assunto sulla superficie e dalla legge secondo cui si misurano le distanze elementari [ds]. La scelta di un opportuno sistema (u, v) permise a BELTR
