Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/174

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AMI [1866] di rappresentare il quadrato del ds nella forma seguente:



  (1 – v2) du2 + 2uv du dv + (1 – u2) dv2

k2 —————————————————————————————————————————

(1 – u2– v2)2


dove la costante k2 è l'inversa, con segno mutato, della curvatura della superficie1.

Per studiare le proprietà delle superficie in discorso e metterle a confronto con quelle della metrica di Lobacefski-Bolyai, il BELTRAMI, nel suo «Saggio» citato a § 69, si giovò del seguente artifizio. Su di un piano ausiliario rappresentò i punti della superficie, in modo che al punto (u, v) di questa corrispondesse su quello il punto di coordinate cartesiane


x = u , y = v.


I punti della superficie vennero così rappresentati sul piano in punti interni al cerchio


x2+ y2 – 1 = 0,


i punti all'infinito della superficie in punti della circonferenza di questo cerchio, le geodetiche in corde, le geodetiche parallele in corde incidenti in un punto della nominata circonferenza, etc. L'espressione del ds2 si tradusse poi nell'espressione (5), secondo cui si misurano le distanze elementari nel sistema {S}. Da ciò risulta che BELTRAMI, con la sua rappresentazione piana delle superficie di curvatura costante, fu condott

  1. «Risoluzione del problema di riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette.»; Ann. di Mat., t. VII, p. 185-204 [1866]. — Opere Mat., t. I, p. 262-80 [Milano, Hoepli, 1902].