Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/18

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si cali la perpendicolare HH’ su AC. Se il punto H’ cade in C, ovvero da banda opposta di A rispetto a C, i due raggi AB, CD s’incontrano senz’altro. Se poi H’ cade fra A e C si tracci il segmento AL, perpendicolare ad AC ed uguale ad HH’. Allora, per quanto sopra si disse sarà: HL = AH’. Consecutivamente ad AH si prenda HK uguale ad AH e da K si cali la perpendicolare KK’ su AC. Essendo KK’ > HH’, si formi K’L’= H’H e si congiunga H con L’. Essendo i due quadrilateri K’H’HL’, H’ALH entrambi rettangoli i tre punti L’, H, L sono in linea retta. Segue: e conseguentemente l’uguaglianza dei due triangoli AHL, HL’K. Quindi: L’H = HL, e per le proprietà dei rettangoli: K’H’= H’A.

Prendasi ora KM uguale e consecutivo ad HK e da M si cali MM’ perpendicolare ad AC. Con un ragionamento uguale a quello ora svolto si dimostra:

Ottenuto questo primo risultato si prenda un multiplo di AH’maggiore di AC [postulato di Archimede]. Sia, ad esempio, AO’ = 4.AH’> AC. Allora su AB si costruisca AO = 4.AH e da O si cali la perpendicolare ad AC. Questa perpendicolare sarà evidentemente OO’. Allora nel triangolo rettangolo AO’O la retta CD, perpendicolare al cateto O’A, non potendo incontrare l’altro cateto OO’, incontrerà necessariamente l’ipotenusa OA. Con ciò rimane dimostrato che due rette AB, CD, l’una perpendicolare e l’altra obbliqua alla trasversale AC, si incontrano. In altre parole si è dimostrato il postulato euclideo nel caso in cui uno degli angoli interni sia retto. Facendo poi uso del teorema sulla somma degli angoli d’un triangolo, Nasîr-Eddîn riconduce il caso generale a questo caso particolare. Non riprodu-