Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/183

Da Wikisource.
Jump to navigation Jump to search


et, par conséquent, égale à la somme des deux poids.»1.


§ 3. Il ragionamento di Lagrange, oltre contenere implicitamente talune ipotesi d'indole statica, relative alle simmetrie, al rinforzo dei vincoli, etc.2, utilizza una proprietà geometrica del triangolo euclideo. Ma se si vuole prescindere da questa, il che, sotto un certo aspetto, appare naturale, le precedenti conclusioni vanno modificate.

Infatti, fermo restando il principio che il triangolo ABD sia in equilibrio intorno al punto [E] in cui s'incontrano i due assi MN, CD, non si può asserire che E sia punto di mezzo di CD, perchè ciò equivarrebbe ad ammettere il postulato d'Euclide.

Conseguentemente non si potrà asserire che i due pesi applicati in A e B possano sostituirsi con l'unico peso 2P, applicato in C, poichè, se tale sostituzione potesse aver luogo, dovrebbe sussistere l'equilibrio d'una leva con pesi uguali agli estremi, intorno ad un punto che può non essere il suo punto di mezzo.

Viceversa, se si concede, con ARCHIMEDE, che a due pesi uguali possa sostituirsi un unico peso applicato al punto medio della leva, si deduce facilmente che E è il punto di mezzo di CD e successivamente che ABD è un triangolo euclideo.

Con ciò resta stabilita l'equivalenza fra il V postulato d'Euclide e la suddetta ipotesi d'Archimede. Una tale equivalenza, beninteso, è relativa al sistema di ipotesi formato dalle ipotesi statiche sopra accennate e dalle ipotesi geometriche ordinarie.

  1. «Oeuvres de Lagrange.», t. XI, p. 4-5.
  2. Per l'analisi dei principi fisici su cui si fonda la statica ordinaria si vegga il Cap. V dell'opera in corso di stampa di F. ENRIQUES «Problemi della Scienza.» [Bologna, Zanichelli, 1906].