Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/202

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Il caso in cui le rette equidistanti siano coplanari è senz'altro esaurito, inquantochè i precedenti sviluppi [§ 8] ci permettono di asserire che lo spazio corrispondente è l'ordinario euclideo. Supporremo perciò che le due rette equidistanti r, s siano sghembe e che i segmenti di perpendicolare calati dai punti di r su s siano uguali: questi segmenti saranno evidentemente perpendicolari anche ad r. Siano AA', BB' due sifatti segmenti. Il quadrilatero sghembo ABB'A', che così ne risulta, ha i quattro angoli retti e due lati opposti uguali. È facile vedere che anche gli altri due lati opposti AB, A'B' sono uguali e che ciascuna diagonale, ad es AB', forma con le due parallele angoli alterni interni uguali. Ciò risulta dalla congruenza dei due triangoli rettangoli AA'B', AB'B.

Se ora si esamina il triedro A (A'B'B), in forza d'un teorema sulle faccie, valido ad un tempo nei tre sistemi geometrici, potremo scrivere:


A'AB' + B'B > A'AB = 1 retto.


Questa relazione, stante l'uguaglianza dei due angoli AB'A', B'AB, può scriversi così:


A'AB' + AB'A' > 1 retto.


Sotto la nuova forma essa ci dice che nel triangolo rettangolo AA'B' la somma degli angoli acuti è maggiore di un angolo retto. Ciò significa che nel triangolo in discorso è verificata l'ip. ang. ottuso e conseguentemente che le parallele sghembe possono sussistere solo nello spazio di RIEMANN.


§ 3. Per dimostrare poi che nello spazio ellittico di RIEMANN esistono effettivamente delle coppie di rette sghembe