Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/203

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equidistanti, consideriamo una retta arbitraria r e gli infiniti piani ad essa perpendicolari: questi piani passano tutti per un'altra retta r', la polare di r nella polarità assoluta dello spazio ellittico. Un qualsiasi segmento che congiunga un punto di r con un punto di r' è perpendicolare tanto ad r quanto ad r' ed ha una lunghezza costantemente uguale alla semiretta. Da ciò risulta che r ed r' sono rette sghembe equidistanti.

Ma due sifatte equidistanti offrono un caso particolarissimo, inquantochè tutti i punti di r hanno la stessa distanza non solo da r, ma da tutti i punti di r'.

Per mettere in luce l'esistenza di rette equidistanti, in cui l'ultima particolarità non abbia luogo, consideriamo ancora due rette r ed r', l'una polare dell'altra e su di esse i rispettivi segmenti AB, A'B' uguali ad un segmento dato, minore della semiretta1. Congiungendo A con A' e B con B' si ottengono due rette a, b, non polari l'una dell'altra e perpendicolari entrambe alle due rette r, r'. Si può facilmente dimostrare che a e b sono equidistanti. Perciò si fissi su AA' un segmento A'H, poi sul segmento supplementare2 di A'HA si fissi il segmento AM uguale ad A'H.

  1. Nella fig. 65, mancano le due lettere r, r', corrispondenti alle due rette AB, A'B'
  2. I due segmenti che due punti determinano sopra una retta si dicono supplementari.