Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/204

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Congiunti i punti H ed M rispettivamente con B' e B si ottengono due triangoli rettangoli A'B'H, ABM, che, in forza delle costruzioni fatte, risultano congruenti. Si avrà perciò la seguente uguaglianza:


HB' = BM


Se ora si congiunge H con B e si paragonano i due triangoli HB'B, HBM, si vede immediatamente ch'essi sono uguali, avendo il lato HB in comune, i lati HB', MB uguali in forza della precedente relazione, i lati B'B e HM pure uguali perchè ciascuno di essi è una semiretta. I due triangoli in discorso avranno perciò uguali anche le altezze HK, BA corrispondenti ai lati uguali BB' e HM'. Ciò esprime, in altre parole, che i vari punti della retta a sono equidistanti dalla retta b. E poichè il ragionamento può ripetersi partendo dalla retta b, calando le perpendicolari sulla a, si conclude che il segmento HK, oltre essere perpendicolare a b è anche perpendicolare ad a.

Si osservi poi che dall'uguaglianza dei vari segmenti AB, HK, A'B'... si deduce l'uguaglianza dei rispettivi segmenti supplementari, per cui le due rette a, b possono riguardarsi equidistanti l'una dall'altra in due modi diversi. Quando poi avvenisse che il segmento AB fosse uguale al suo supplementare, allora si presenterebbe il caso eccezionale precedente notato, in cui a e b sono polari l'una dell'altra e conseguentemente tutti i punti di a avrebbero uguale distanza dai vari punti di b.


§ 4. Le parallele sghembe dello spazio ellittico furono scoperte da CLIFFORD nel 18731. Ecco, le loro proprietà più notevoli.

  1. «Preliminary Shetch on Biquaternions.»; Proceedings of the London Math. Society, t. IV p. 381-95 [1873] — Math. Papers di CLIFFORD; p. 181-200.