Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/25

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Il primo modo si riattacca alla differenza che passa fra problema e teorema. Il postulato differisce dall’assioma, come il problema differisce dal teorema, dice Proclo. Con questo si deve intendere che il postulato afferma la possibilità di una costruzione.

Il secondo modo consiste nel dire che il postulato è una proposizione di contenuto geometrico, dove l’assioma è una proposizione comune tanto alla geometria quanto all’aritmetica.

Finalmente il terzo modo di intendere la differenza fra le due parole e riportato da Proclo, è appoggiato all’autorità di Aristotile [384-322]. Le parole assioma e postulato in Aristotile non sembrano usate in senso esclusivamente matematico. Assioma è ciò che è vero per se stesso, in forza cioè del significato delle parole che contiene, postulato è ciò che, pur non essendo un assioma, nel senso sopradetto, si ammette senza dimostrazione.

Talchè la parola assioma, come appare anche meglio da un esempio portato da Aristotile [sottraendo da cose uguali cose uguali i resti sono uguali], è usata in un senso che corrisponde, presso a poco, a quello delle nozioni comuni di Euclide, mentre la parola postulato ha in Aristotile un senso diverso da ciascuno dei due sopra accennati. 1 Ec|αἰτῆμα|

Ora a seconda che si adotta l’una o l’altra di queste distinzioni fra le due parole, una certa proposizione potrà classificarsi o fra i postulati o fra gli assiomi. Adottando la

  1. Cfr. Aristotile: Analytica Posteriora, I. 10. Riportiamo integralmente il passo, un po’ oscuro, in cui questo filosofo parla del postulato. Ὅσα μέν oὖν δεικτὰ ὄντα λαμβάνει ἀυτὸς μὴ δείξας, ταῦτα ἐὰν μὲν δοκοῦντα λαμβάνῃ τῷ μανθάνοντι ὑποτίθεται. Καὶ ἔστιν οὐχ ἁπλῶς ὑπόθεσις ἀλλὰ πρὸς ἐκεῖνον μόνον.Ἐὰν δὲ ἢ μηδεμίας ἐνούσης δόξης ἢ καὶ ἐναντίως ἐνούσης λαμβάνῃ, τὸ αυτὸ αἰτεῖται. Καὶ τούτῳ διαφέρει ὑπόθεσις καὶ αἰτῆμα. ἔστι γὰρ αἰτῆμα τὸ ὑπεναντίον τοῦ μανθάνοντος τῇ δοξῃ.