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prima, dei cinque postulati euclidei solo i tre primi, secondo Proclo, meriterebbero questo nome, in quanto in essi soltanto è domandato di poter fare una costruzione [congiungere due punti, prolungare una retta, descrivere un cerchio di centro e raggio arbitrari]. Il IV [gli angoli retti sono uguali] ed il V dovrebbero invece classificarsi fra gli assiomi¹.

Accettando invece la seconda o la terza distinzione, i postulati euclidei sono tutti cinque da noverarsi fra i postulati.

Con ciò l’origine delle divergenze fra i vari codici è facilmente spiegabile. Ad avvalorare questa spiegazione possiamo aggiungere l’incertezza in cui si trovano gli storici nell’attribuire ad Euclide i postulati, le nozioni comuni, le definizioni del primo libro. Per quanto riguarda i postulati, i dubbi più forti si elevano contro i due ultimi: la presenza dei primi tre concorda abbastanza con l’intero piano dell’opera².

↑ È opportuno osservare che il V postulato può enunciarsi così: Si può costruire il punto comune a due rette, quando queste rette tagliate da una trasversale formano due angoli interni da una stessa parte la cui somma è minore di due angoli retti. Da ciò risulta ch’esso, afferma, come i tre primi, la possibilità di una costruzione. Questo carattere scompare però totalmente se lo si enuncia, ad. es., così: per un punto passa una sola parallela ad una retta, ovvero: due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro. Parrebbe adunque che la su accennata distinzione fosse soltanto formale. Non bisogna però lasciarsi illudere dalle apparenze: il V postulato, comunque lo si enunci, permette, in sostanza, di costruire il punto d’incontro di tutte le rette d’un fascio, ad eccezione di una, con una retta assegnata sul piano del fascio. Tuttavia fra questo postulato ed i tre postulati di costruzione una certa differenza esiste: in questi i dati sono completamente indipendenti, in quello i dati (le due rette tagliate dalla trasversale) sono assoggettati ad una condizione. Sicchè più che ai postulati od agli assiomi, l’ipotesi euclidea appartiene ad un genere intermedio fra gli uni e gli altri.
↑ Cfr. P. Tannery: «Sur l’authenticité des axiomes d’Euclide» — Bull. Sciences Math. (2), t. XVIV, p. 162-175 [1884].

[1] È opportuno osservare che il V postulato può enunciarsi così: Si può costruire il punto comune a due rette, quando queste rette tagliate da una trasversale formano due angoli interni da una stessa parte la cui somma è minore di due angoli retti. Da ciò risulta ch’esso, afferma, come i tre primi, la possibilità di una costruzione. Questo carattere scompare però totalmente se lo si enuncia, ad. es., così: per un punto passa una sola parallela ad una retta, ovvero: due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro. Parrebbe adunque che la su accennata distinzione fosse soltanto formale. Non bisogna però lasciarsi illudere dalle apparenze: il V postulato, comunque lo si enunci, permette, in sostanza, di costruire il punto d’incontro di tutte le rette d’un fascio, ad eccezione di una, con una retta assegnata sul piano del fascio. Tuttavia fra questo postulato ed i tre postulati di costruzione una certa differenza esiste: in questi i dati sono completamente indipendenti, in quello i dati (le due rette tagliate dalla trasversale) sono assoggettati ad una condizione. Sicchè più che ai postulati od agli assiomi, l’ipotesi euclidea appartiene ad un genere intermedio fra gli uni e gli altri.

[2] Cfr. P. Tannery: «Sur l’authenticité des axiomes d’Euclide» — Bull. Sciences Math. (2), t. XVIV, p. 162-175 [1884].

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