Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/36

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Lo stesso ragionamento è applicabile nell'ipotesi

E'F' = AB.


Dimostriamo il 2° teorema.

Supponiamo in primo luogo EF > AB. Allora su EF prendiamo EI = AB e congiungiamo I con A e C. Valgono allora le seguenti relazioni.

BÂI = FÎA, DCI = FÎC


Inoltre, pel teorema dell'angolo esterno [EUCLIDE, XVII], avremo pure:

FÎA + FÎCF > ÊA + FÊC = 2 retti(34)

E poichè si ha:

BÂC + DCA > BÂI + DCI,


si deduce:

BÂC + DCA > FÎA + FÎC > 2 retti


Allora, per l'uguaglianza dei due angoli BÂC, DCA, si ricava:

BÂC > 1 retto

c. d. d.

Supponiamo in secondo luogo E'F' < AB. Allora prolunghiamo F'E' fino ad ottenenere il segmento F'I' = AB e congiungiamo I' con C ed A.

Valgono al solito le seguenti relazioni:

F'Î'A = BÂI'; F'Î'C = DCI'; I'ÂE' > I'CE' ; F'Î'A < F'Î'C