Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/50

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figure fondamentali], oppure, se venendo enunciata in rapporto ai dati variabili, ne dipende soltanto in modo apparente, sicchè rimanga fissa al variare di questi.

In questo senso è chiaro che, nell'ordinaria geometria, la misura dei segmenti ha necessariamente un significato relativo. Infatti, l'esistenza delle trasformazioni per similitudine non ci permette in alcun modo di individuare la grandezza di un segmento rispetto alle figure fondamentali [retta, fascio, ecc.]. Per l'angolo invece si può scegliere un modo di misura, che ne esprima una proprietà assoluta: basta infatti prendere il suo rapporto all'angolo di un giro, cioè all'intero fascio, che è una delle figure fondamentali.


Ritorniamo ora a Lambert ed alla sua geometria corrispondente alla terza ipotesi. Egli ha osservato che ad ogni segmento può farsi corrispondere un determinato angolo, facilmente costruibile. Segue da ciò che ogni segmento è in relazione con la figura fondamentale fascio e quindi che, nella nuova [ipotetica] geometria, anche alla misura dei segmenti dovrebbe potersi attribuire un significato assoluto.

Per vedere poi nel modo più semplice come ad ogni segmento possa coordinarsi un angolo ed ottenere così una rappresentazione numerica assoluta dei segmenti, immaginiamo di costruire sopra ogni segmento un triangolo equilatero. Possiamo associare ad ogni segmento l'angolo del relativo triangolo e successivamente la misura di quest'angolo, attesochè esiste una corrispondenza biunivoca fra i segmenti e gli angoli compresi entro certi limiti.

L'ottenuta rappresentazione numerica dei segmenti non gode però della proprietà distributiva che compete alle lunghezze, perchè sommando due segmenti non vengono sommati gli angoli corrispondenti. Si può tuttavia determinare una funzione dell'angolo che goda di questa proprietà ed