Pagina:Bonola - La geometria non-euclidea.djvu/51

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associare ad un segmento non l'angolo in discorso, ma questa funzione dell'angolo. Tale funzione, per ogni valore dell'angolo compreso entro certi limiti, ci dà una misura assoluta dei segmenti. L'unità assoluta è quel segmento per cui la funzione assume il valore 1.

Se si osserva poi che ove una certa funzione dell'angolo sia distributiva nel senso sopra indicato, anche il prodotto di questa funzione per una costante arbitraria gode della stessa proprietà, è chiaro che si potrà sempre disporre di questa costante in modo che l'unità assoluta dei segmenti sia quel tale segmento che corrisponde ad un angolo assegnato, ad es. all' angolo di 45°. La possibilità di costruire, dato l'angolo, l'unità assoluta dei segmenti è legata alla risoluzione del seguente problema: Costruire, nell' ip. ang. acuto, un triangolo equilatero di assegnata deficienza.

Per quanto riguarda la misura assoluta delle aree poligonali osserviamo che essa è data senz'altro dalla deficenza dei poligoni. Anche pei poliedri potrebbe istituirsi una misura assoluta.

Ma secondo la nostra intuizione spaziale la misura assoluta di tutte queste grandezze geometriche non ci sembra possibile, onde, negando l'esistenza e l'una unità assoluta pei segmenti, si potrebbe, con Lambert, rigettare la terza ipotesi.


§ 21. Non si creda che Lambert ritenga d'aver così dimostrato il V postulato, poichè egli comprende quanto sia arbitraria la precedente affermazione!

Per ottenere la desiderata prova procede nella ricerca delle conseguenze della terza ipotesi, ma non riesce che a trasformare la sua questione in altre ugualmente difficili da risolversi.

Altre cose molto interessanti sono contenute nella «Theorie der Parallellinien», ad es., il riavvicinamento della geometria che varrebbe sul piano se fosse lecita la seconda